Розв'яжіть -8r^2+26r-15

$$- 8 r ^ { 2 } + 26 r - 15$$

Розкласти на множники

$$\left(3-4r\right)\left(2r-5\right)$$

Покрокове розв’язання

Розкладіть вираз на множники методом групування. Спочатку вираз потрібно переписати у вигляді -8r^{2}+ar+br-15. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=26 ab=-8\left(-15\right)=120$$

Оскільки ab додатне, a та b мають однаковий знак. Оскільки a+b додатне, a і b – це не додатне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює 120.

$$1,120 2,60 3,40 4,30 5,24 6,20 8,15 10,12$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$1+120=121 2+60=62 3+40=43 4+30=34 5+24=29 6+20=26 8+15=23 10+12=22$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює 26.

$$a=20 b=6$$

Перепишіть -8r^{2}+26r-15 як \left(-8r^{2}+20r\right)+\left(6r-15\right).

$$\left(-8r^{2}+20r\right)+\left(6r-15\right)$$

-4r на першій та 3 в друге групу.

$$-4r\left(2r-5\right)+3\left(2r-5\right)$$

Винесіть за дужки спільний член 2r-5, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(2r-5\right)\left(-4r+3\right)$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$-8r^{2}+26r-15=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$r=\frac{-26±\sqrt{26^{2}-4\left(-8\right)\left(-15\right)}}{2\left(-8\right)}$$

Піднесіть 26 до квадрата.

$$r=\frac{-26±\sqrt{676-4\left(-8\right)\left(-15\right)}}{2\left(-8\right)}$$

Помножте -4 на -8.

$$r=\frac{-26±\sqrt{676+32\left(-15\right)}}{2\left(-8\right)}$$

Помножте 32 на -15.

$$r=\frac{-26±\sqrt{676-480}}{2\left(-8\right)}$$

Додайте 676 до -480.

$$r=\frac{-26±\sqrt{196}}{2\left(-8\right)}$$

Видобудьте квадратний корінь із 196.

$$r=\frac{-26±14}{2\left(-8\right)}$$

Помножте 2 на -8.

$$r=\frac{-26±14}{-16}$$

Тепер розв’яжіть рівняння r=\frac{-26±14}{-16} за додатного значення ±. Додайте -26 до 14.

$$r=-\frac{12}{-16}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 4, щоб звести дріб \frac{-12}{-16} до нескоротного вигляду.

$$r=\frac{3}{4}$$

Тепер розв’яжіть рівняння r=\frac{-26±14}{-16} за від’ємного значення ±. Відніміть 14 від -26.

$$r=-\frac{40}{-16}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 8, щоб звести дріб \frac{-40}{-16} до нескоротного вигляду.

$$r=\frac{5}{2}$$

Розкладіть вихідний вираз на множники за принципом ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Замініть \frac{3}{4} на x_{1} та \frac{5}{2} на x_{2}.

$$-8r^{2}+26r-15=-8\left(r-\frac{3}{4}\right)\left(r-\frac{5}{2}\right)$$

Щоб відняти r від \frac{3}{4}, визначте спільний знаменник і обчисліть різницю чисельників. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$-8r^{2}+26r-15=-8\times \frac{-4r+3}{-4}\left(r-\frac{5}{2}\right)$$

Щоб відняти r від \frac{5}{2}, визначте спільний знаменник і обчисліть різницю чисельників. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$-8r^{2}+26r-15=-8\times \frac{-4r+3}{-4}\times \frac{-2r+5}{-2}$$

Щоб помножити \frac{-4r+3}{-4} на \frac{-2r+5}{-2}, помножте чисельник на чисельник і знаменник на знаменник. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$-8r^{2}+26r-15=-8\times \frac{\left(-4r+3\right)\left(-2r+5\right)}{-4\left(-2\right)}$$

Помножте -4 на -2.

$$-8r^{2}+26r-15=-8\times \frac{\left(-4r+3\right)\left(-2r+5\right)}{8}$$

Відкиньте 8, тобто найбільший спільний дільник для -8 й 8.

$$-8r^{2}+26r-15=-\left(-4r+3\right)\left(-2r+5\right)$$

Обчислити

$$\left(3-4r\right)\left(2r-5\right)$$