Розв'яжіть -5x^2+9x=-3

$$- 5 x ^ { 2 } + 9 x = - 3$$

Знайдіть x

$$x = \frac{\sqrt{141} + 9}{10} \approx 2,087434209$$

$$x=\frac{9-\sqrt{141}}{10}\approx -0,287434209$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$-5x^{2}+9x=-3$$

Додайте 3 до обох сторін цього рівняння.

$$-5x^{2}+9x-\left(-3\right)=-3-\left(-3\right)$$

Якщо відняти -3 від самого себе, залишиться 0.

$$-5x^{2}+9x-\left(-3\right)=0$$

Відніміть -3 від 0.

$$-5x^{2}+9x+3=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте -5 замість a, 9 замість b і 3 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\left(-5\right)\times 3}}{2\left(-5\right)}$$

Піднесіть 9 до квадрата.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-4\left(-5\right)\times 3}}{2\left(-5\right)}$$

Помножте -4 на -5.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81+20\times 3}}{2\left(-5\right)}$$

Помножте 20 на 3.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81+60}}{2\left(-5\right)}$$

Додайте 81 до 60.

$$x=\frac{-9±\sqrt{141}}{2\left(-5\right)}$$

Помножте 2 на -5.

$$x=\frac{-9±\sqrt{141}}{-10}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-9±\sqrt{141}}{-10} за додатного значення ±. Додайте -9 до \sqrt{141}.

$$x=\frac{\sqrt{141}-9}{-10}$$

Розділіть -9+\sqrt{141} на -10.

$$x=\frac{9-\sqrt{141}}{10}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-9±\sqrt{141}}{-10} за від’ємного значення ±. Відніміть \sqrt{141} від -9.

$$x=\frac{-\sqrt{141}-9}{-10}$$

Розділіть -9-\sqrt{141} на -10.

$$x=\frac{\sqrt{141}+9}{10}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{9-\sqrt{141}}{10} x=\frac{\sqrt{141}+9}{10}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$-5x^{2}+9x=-3$$

Розділіть обидві сторони на -5.

$$\frac{-5x^{2}+9x}{-5}=-\frac{3}{-5}$$

Ділення на -5 скасовує множення на -5.

$$x^{2}+\frac{9}{-5}x=-\frac{3}{-5}$$

Розділіть 9 на -5.

$$x^{2}-\frac{9}{5}x=-\frac{3}{-5}$$

Розділіть -3 на -5.

$$x^{2}-\frac{9}{5}x=\frac{3}{5}$$

Поділіть -\frac{9}{5} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{9}{10}. Потім додайте -\frac{9}{10} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-\frac{9}{5}x+\left(-\frac{9}{10}\right)^{2}=\frac{3}{5}+\left(-\frac{9}{10}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{9}{10} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-\frac{9}{5}x+\frac{81}{100}=\frac{3}{5}+\frac{81}{100}$$

Щоб додати \frac{3}{5} до \frac{81}{100}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{9}{5}x+\frac{81}{100}=\frac{141}{100}$$

Розкладіть x^{2}-\frac{9}{5}x+\frac{81}{100} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{9}{10}\right)^{2}=\frac{141}{100}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{141}{100}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{9}{10}=\frac{\sqrt{141}}{10} x-\frac{9}{10}=-\frac{\sqrt{141}}{10}$$

Додайте \frac{9}{10} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{\sqrt{141}+9}{10} x=\frac{9-\sqrt{141}}{10}$$