Розв'яжіть -4a^2-5a+1=0

$$- 4 a ^ { 2 } - 5 a + 1 = 0$$

Знайдіть a

$$a=\frac{\sqrt{41}-5}{8}\approx 0,17539053$$

$$a=\frac{-\sqrt{41}-5}{8}\approx -1,42539053$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$-4a^{2}-5a+1=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте -4 замість a, -5 замість b і 1 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Піднесіть -5 до квадрата.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Помножте -4 на -4.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+16}}{2\left(-4\right)}$$

Додайте 25 до 16.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{41}}{2\left(-4\right)}$$

Число, протилежне до -5, дорівнює 5.

$$a=\frac{5±\sqrt{41}}{2\left(-4\right)}$$

Помножте 2 на -4.

$$a=\frac{5±\sqrt{41}}{-8}$$

Тепер розв’яжіть рівняння a=\frac{5±\sqrt{41}}{-8} за додатного значення ±. Додайте 5 до \sqrt{41}.

$$a=\frac{\sqrt{41}+5}{-8}$$

Розділіть 5+\sqrt{41} на -8.

$$a=\frac{-\sqrt{41}-5}{8}$$

Тепер розв’яжіть рівняння a=\frac{5±\sqrt{41}}{-8} за від’ємного значення ±. Відніміть \sqrt{41} від 5.

$$a=\frac{5-\sqrt{41}}{-8}$$

Розділіть 5-\sqrt{41} на -8.

$$a=\frac{\sqrt{41}-5}{8}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$a=\frac{-\sqrt{41}-5}{8} a=\frac{\sqrt{41}-5}{8}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$-4a^{2}-5a+1=0$$

Відніміть 1 від обох сторін цього рівняння.

$$-4a^{2}-5a+1-1=-1$$

Якщо відняти 1 від самого себе, залишиться 0.

$$-4a^{2}-5a=-1$$

Розділіть обидві сторони на -4.

$$\frac{-4a^{2}-5a}{-4}=-\frac{1}{-4}$$

Ділення на -4 скасовує множення на -4.

$$a^{2}+\left(-\frac{5}{-4}\right)a=-\frac{1}{-4}$$

Розділіть -5 на -4.

$$a^{2}+\frac{5}{4}a=-\frac{1}{-4}$$

Розділіть -1 на -4.

$$a^{2}+\frac{5}{4}a=\frac{1}{4}$$

Поділіть \frac{5}{4} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати \frac{5}{8}. Потім додайте \frac{5}{8} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$a^{2}+\frac{5}{4}a+\left(\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(\frac{5}{8}\right)^{2}$$

Щоб піднести \frac{5}{8} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$a^{2}+\frac{5}{4}a+\frac{25}{64}=\frac{1}{4}+\frac{25}{64}$$

Щоб додати \frac{1}{4} до \frac{25}{64}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$a^{2}+\frac{5}{4}a+\frac{25}{64}=\frac{41}{64}$$

Розкладіть a^{2}+\frac{5}{4}a+\frac{25}{64} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(a+\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{41}{64}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(a+\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{41}{64}}$$

Виконайте спрощення.

$$a+\frac{5}{8}=\frac{\sqrt{41}}{8} a+\frac{5}{8}=-\frac{\sqrt{41}}{8}$$

Відніміть \frac{5}{8} від обох сторін цього рівняння.

$$a=\frac{\sqrt{41}-5}{8} a=\frac{-\sqrt{41}-5}{8}$$