Розв'яжіть -3x^2-24x-51=0

$$- 3 x ^ { 2 } - 24 x - 51 = 0$$

Знайдіть x (complex solution)

$$x=-4+i$$

$$x=-4-i$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$-3x^{2}-24x-51=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте -3 замість a, -24 замість b і -51 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\left(-3\right)\left(-51\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Піднесіть -24 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\left(-3\right)\left(-51\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Помножте -4 на -3.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576+12\left(-51\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Помножте 12 на -51.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-612}}{2\left(-3\right)}$$

Додайте 576 до -612.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{-36}}{2\left(-3\right)}$$

Видобудьте квадратний корінь із -36.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±6i}{2\left(-3\right)}$$

Число, протилежне до -24, дорівнює 24.

$$x=\frac{24±6i}{2\left(-3\right)}$$

Помножте 2 на -3.

$$x=\frac{24±6i}{-6}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{24±6i}{-6} за додатного значення ±. Додайте 24 до 6i.

$$x=\frac{24+6i}{-6}$$

Розділіть 24+6i на -6.

$$x=-4-i$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{24±6i}{-6} за від’ємного значення ±. Відніміть 6i від 24.

$$x=\frac{24-6i}{-6}$$

Розділіть 24-6i на -6.

$$x=-4+i$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=-4-i x=-4+i$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$-3x^{2}-24x-51=0$$

Додайте 51 до обох сторін цього рівняння.

$$-3x^{2}-24x-51-\left(-51\right)=-\left(-51\right)$$

Якщо відняти -51 від самого себе, залишиться 0.

$$-3x^{2}-24x=-\left(-51\right)$$

Відніміть -51 від 0.

$$-3x^{2}-24x=51$$

Розділіть обидві сторони на -3.

$$\frac{-3x^{2}-24x}{-3}=\frac{51}{-3}$$

Ділення на -3 скасовує множення на -3.

$$x^{2}+\left(-\frac{24}{-3}\right)x=\frac{51}{-3}$$

Розділіть -24 на -3.

$$x^{2}+8x=\frac{51}{-3}$$

Розділіть 51 на -3.

$$x^{2}+8x=-17$$

Поділіть 8 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати 4. Потім додайте 4 у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}+8x+4^{2}=-17+4^{2}$$

Піднесіть 4 до квадрата.

$$x^{2}+8x+16=-17+16$$

Додайте -17 до 16.

$$x^{2}+8x+16=-1$$

Розкладіть x^{2}+8x+16 на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+4\right)^{2}=-1$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x+4\right)^{2}}=\sqrt{-1}$$

Виконайте спрощення.

$$x+4=i x+4=-i$$

Відніміть 4 від обох сторін цього рівняння.

$$x=-4+i x=-4-i$$