Розв'яжіть -3x^2+51x-156=0

$$- 3 x ^ { 2 } + 51 x - 156 = 0$$

Знайдіть x

$$x=4$$

$$x=13$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Розділіть обидві сторони на 3.

$$-x^{2}+17x-52=0$$

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді -x^{2}+ax+bx-52. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=17 ab=-\left(-52\right)=52$$

Оскільки ab додатне, a та b мають однаковий знак. Оскільки a+b додатне, a і b – це не додатне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює 52.

$$1,52 2,26 4,13$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$1+52=53 2+26=28 4+13=17$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює 17.

$$a=13 b=4$$

Перепишіть -x^{2}+17x-52 як \left(-x^{2}+13x\right)+\left(4x-52\right).

$$\left(-x^{2}+13x\right)+\left(4x-52\right)$$

-x на першій та 4 в друге групу.

$$-x\left(x-13\right)+4\left(x-13\right)$$

Винесіть за дужки спільний член x-13, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(x-13\right)\left(-x+4\right)$$

Щоб знайти рішення для формул, Розв'яжіть x-13=0 та -x+4=0.

$$x=13 x=4$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$-3x^{2}+51x-156=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте -3 замість a, 51 замість b і -156 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-51±\sqrt{51^{2}-4\left(-3\right)\left(-156\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Піднесіть 51 до квадрата.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601-4\left(-3\right)\left(-156\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Помножте -4 на -3.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601+12\left(-156\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Помножте 12 на -156.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601-1872}}{2\left(-3\right)}$$

Додайте 2601 до -1872.

$$x=\frac{-51±\sqrt{729}}{2\left(-3\right)}$$

Видобудьте квадратний корінь із 729.

$$x=\frac{-51±27}{2\left(-3\right)}$$

Помножте 2 на -3.

$$x=\frac{-51±27}{-6}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-51±27}{-6} за додатного значення ±. Додайте -51 до 27.

$$x=-\frac{24}{-6}$$

Розділіть -24 на -6.

$$x=4$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-51±27}{-6} за від’ємного значення ±. Відніміть 27 від -51.

$$x=-\frac{78}{-6}$$

Розділіть -78 на -6.

$$x=13$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=4 x=13$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$-3x^{2}+51x-156=0$$

Додайте 156 до обох сторін цього рівняння.

$$-3x^{2}+51x-156-\left(-156\right)=-\left(-156\right)$$

Якщо відняти -156 від самого себе, залишиться 0.

$$-3x^{2}+51x=-\left(-156\right)$$

Відніміть -156 від 0.

$$-3x^{2}+51x=156$$

Розділіть обидві сторони на -3.

$$\frac{-3x^{2}+51x}{-3}=\frac{156}{-3}$$

Ділення на -3 скасовує множення на -3.

$$x^{2}+\frac{51}{-3}x=\frac{156}{-3}$$

Розділіть 51 на -3.

$$x^{2}-17x=\frac{156}{-3}$$

Розділіть 156 на -3.

$$x^{2}-17x=-52$$

Поділіть -17 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{17}{2}. Потім додайте -\frac{17}{2} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-17x+\left(-\frac{17}{2}\right)^{2}=-52+\left(-\frac{17}{2}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{17}{2} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-17x+\frac{289}{4}=-52+\frac{289}{4}$$

Додайте -52 до \frac{289}{4}.

$$x^{2}-17x+\frac{289}{4}=\frac{81}{4}$$

Розкладіть x^{2}-17x+\frac{289}{4} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{17}{2}\right)^{2}=\frac{81}{4}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{17}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{4}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{17}{2}=\frac{9}{2} x-\frac{17}{2}=-\frac{9}{2}$$

Додайте \frac{17}{2} до обох сторін цього рівняння.

$$x=13 x=4$$