Розв'яжіть -3x^2+5x-1=0

$$- 3 x ^ { 2 } + 5 x - 1 = 0$$

Знайдіть x

$$x = \frac{\sqrt{13} + 5}{6} \approx 1,434258546$$

$$x=\frac{5-\sqrt{13}}{6}\approx 0,232408121$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$-3x^{2}+5x-1=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте -3 замість a, 5 замість b і -1 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\left(-3\right)\left(-1\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Піднесіть 5 до квадрата.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\left(-3\right)\left(-1\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Помножте -4 на -3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+12\left(-1\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Помножте 12 на -1.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-12}}{2\left(-3\right)}$$

Додайте 25 до -12.

$$x=\frac{-5±\sqrt{13}}{2\left(-3\right)}$$

Помножте 2 на -3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{13}}{-6}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-5±\sqrt{13}}{-6} за додатного значення ±. Додайте -5 до \sqrt{13}.

$$x=\frac{\sqrt{13}-5}{-6}$$

Розділіть -5+\sqrt{13} на -6.

$$x=\frac{5-\sqrt{13}}{6}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-5±\sqrt{13}}{-6} за від’ємного значення ±. Відніміть \sqrt{13} від -5.

$$x=\frac{-\sqrt{13}-5}{-6}$$

Розділіть -5-\sqrt{13} на -6.

$$x=\frac{\sqrt{13}+5}{6}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{5-\sqrt{13}}{6} x=\frac{\sqrt{13}+5}{6}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$-3x^{2}+5x-1=0$$

Додайте 1 до обох сторін цього рівняння.

$$-3x^{2}+5x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Якщо відняти -1 від самого себе, залишиться 0.

$$-3x^{2}+5x=-\left(-1\right)$$

Відніміть -1 від 0.

$$-3x^{2}+5x=1$$

Розділіть обидві сторони на -3.

$$\frac{-3x^{2}+5x}{-3}=\frac{1}{-3}$$

Ділення на -3 скасовує множення на -3.

$$x^{2}+\frac{5}{-3}x=\frac{1}{-3}$$

Розділіть 5 на -3.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=\frac{1}{-3}$$

Розділіть 1 на -3.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=-\frac{1}{3}$$

Поділіть -\frac{5}{3} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{5}{6}. Потім додайте -\frac{5}{6} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}=-\frac{1}{3}+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{5}{6} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=-\frac{1}{3}+\frac{25}{36}$$

Щоб додати -\frac{1}{3} до \frac{25}{36}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{13}{36}$$

Розкладіть x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{13}{36}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{13}{36}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{5}{6}=\frac{\sqrt{13}}{6} x-\frac{5}{6}=-\frac{\sqrt{13}}{6}$$

Додайте \frac{5}{6} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{\sqrt{13}+5}{6} x=\frac{5-\sqrt{13}}{6}$$