Розв'яжіть -3x^2+5x+2geq0

$$- 3 x ^ { 2 } + 5 x + 2 \geq 0$$

Знайти x

$$x\in \begin{bmatrix}-\frac{1}{3},2\end{bmatrix}$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Помножте нерівність на -1, щоб коефіцієнт при найвищому ступені в -3x^{2}+5x+2 був додатний. Оскільки -1 <0, напрямок нерівності змінюється на протилежний.

$$3x^{2}-5x-2\leq 0$$

Щоб розв’язати нерівність, розкладіть ліву частину на множники. Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$3x^{2}-5x-2=0$$

Усі рівняння вигляду ax^{2}+bx+c=0 можна вирішити за допомогою загальної формули для квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замініть у цій формулі 3 на a, -5 – на b, а -2 – на c.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 3\left(-2\right)}}{2\times 3}$$

Виконайте арифметичні операції.

$$x=\frac{5±7}{6}$$

Розв’яжіть рівняння x=\frac{5±7}{6} для випадку, коли замість ± використовується знак "плюс", і коли замість ± використовується знак "мінус".

$$x=2 x=-\frac{1}{3}$$

Перепишіть нерівність за допомогою отриманих розв’язків.

$$3\left(x-2\right)\left(x+\frac{1}{3}\right)\leq 0$$

Щоб добуток був ≤0, одне зі значень x-2 і x+\frac{1}{3} має бути ≥0, а інше – ≤0. Consider the case when x-2\geq 0 and x+\frac{1}{3}\leq 0.

$$x-2\geq 0 x+\frac{1}{3}\leq 0$$

Це не виконується для жодного значення x.

$$x\in \emptyset$$

Consider the case when x-2\leq 0 and x+\frac{1}{3}\geq 0.

$$x+\frac{1}{3}\geq 0 x-2\leq 0$$

Обидві нерівності мають такий розв’язок: x\in \left[-\frac{1}{3},2\right].

$$x\in \begin{bmatrix}-\frac{1}{3},2\end{bmatrix}$$

Остаточний розв’язок – об’єднання отриманих розв’язків.

$$x\in \begin{bmatrix}-\frac{1}{3},2\end{bmatrix}$$