Розв'яжіть -3p^2+17p=20

$$- 3 p ^ { 2 } + 17 p = 20$$

Знайдіть p

$$p=4$$

$$p = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1,666666667$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Відніміть 20 з обох сторін.

$$-3p^{2}+17p-20=0$$

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді -3p^{2}+ap+bp-20. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=17 ab=-3\left(-20\right)=60$$

Оскільки ab додатне, a та b мають однаковий знак. Оскільки a+b додатне, a і b – це не додатне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює 60.

$$1,60 2,30 3,20 4,15 5,12 6,10$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$1+60=61 2+30=32 3+20=23 4+15=19 5+12=17 6+10=16$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює 17.

$$a=12 b=5$$

Перепишіть -3p^{2}+17p-20 як \left(-3p^{2}+12p\right)+\left(5p-20\right).

$$\left(-3p^{2}+12p\right)+\left(5p-20\right)$$

3p на першій та -5 в друге групу.

$$3p\left(-p+4\right)-5\left(-p+4\right)$$

Винесіть за дужки спільний член -p+4, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(-p+4\right)\left(3p-5\right)$$

Щоб знайти рішення для формул, Розв'яжіть -p+4=0 та 3p-5=0.

$$p=4 p=\frac{5}{3}$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$-3p^{2}+17p=20$$

Відніміть 20 від обох сторін цього рівняння.

$$-3p^{2}+17p-20=20-20$$

Якщо відняти 20 від самого себе, залишиться 0.

$$-3p^{2}+17p-20=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте -3 замість a, 17 замість b і -20 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$p=\frac{-17±\sqrt{17^{2}-4\left(-3\right)\left(-20\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Піднесіть 17 до квадрата.

$$p=\frac{-17±\sqrt{289-4\left(-3\right)\left(-20\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Помножте -4 на -3.

$$p=\frac{-17±\sqrt{289+12\left(-20\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Помножте 12 на -20.

$$p=\frac{-17±\sqrt{289-240}}{2\left(-3\right)}$$

Додайте 289 до -240.

$$p=\frac{-17±\sqrt{49}}{2\left(-3\right)}$$

Видобудьте квадратний корінь із 49.

$$p=\frac{-17±7}{2\left(-3\right)}$$

Помножте 2 на -3.

$$p=\frac{-17±7}{-6}$$

Тепер розв’яжіть рівняння p=\frac{-17±7}{-6} за додатного значення ±. Додайте -17 до 7.

$$p=-\frac{10}{-6}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 2, щоб звести дріб \frac{-10}{-6} до нескоротного вигляду.

$$p=\frac{5}{3}$$

Тепер розв’яжіть рівняння p=\frac{-17±7}{-6} за від’ємного значення ±. Відніміть 7 від -17.

$$p=-\frac{24}{-6}$$

Розділіть -24 на -6.

$$p=4$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$p=\frac{5}{3} p=4$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$-3p^{2}+17p=20$$

Розділіть обидві сторони на -3.

$$\frac{-3p^{2}+17p}{-3}=\frac{20}{-3}$$

Ділення на -3 скасовує множення на -3.

$$p^{2}+\frac{17}{-3}p=\frac{20}{-3}$$

Розділіть 17 на -3.

$$p^{2}-\frac{17}{3}p=\frac{20}{-3}$$

Розділіть 20 на -3.

$$p^{2}-\frac{17}{3}p=-\frac{20}{3}$$

Поділіть -\frac{17}{3} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{17}{6}. Потім додайте -\frac{17}{6} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$p^{2}-\frac{17}{3}p+\left(-\frac{17}{6}\right)^{2}=-\frac{20}{3}+\left(-\frac{17}{6}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{17}{6} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$p^{2}-\frac{17}{3}p+\frac{289}{36}=-\frac{20}{3}+\frac{289}{36}$$

Щоб додати -\frac{20}{3} до \frac{289}{36}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$p^{2}-\frac{17}{3}p+\frac{289}{36}=\frac{49}{36}$$

Розкладіть p^{2}-\frac{17}{3}p+\frac{289}{36} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(p-\frac{17}{6}\right)^{2}=\frac{49}{36}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(p-\frac{17}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{36}}$$

Виконайте спрощення.

$$p-\frac{17}{6}=\frac{7}{6} p-\frac{17}{6}=-\frac{7}{6}$$

Додайте \frac{17}{6} до обох сторін цього рівняння.

$$p=4 p=\frac{5}{3}$$