Розв'яжіть -3(2x-1)+(x+1)(x-1)-5(x+2)=1

$$- 3 ( 2 x - 1 ) + ( x + 1 ) ( x - 1 ) - 5 ( x + 2 ) = 1$$

Знайдіть x

$$x = \frac{\sqrt{157} + 11}{2} \approx 11,764982043$$

$$x=\frac{11-\sqrt{157}}{2}\approx -0,764982043$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити -3 на 2x-1.

$$-6x+3+\left(x+1\right)\left(x-1\right)-5\left(x+2\right)=1$$

Розглянемо \left(x+1\right)\left(x-1\right). Множення можна виконати за правилом різниці квадратів: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Піднесіть 1 до квадрата.

$$-6x+3+x^{2}-1-5\left(x+2\right)=1$$

Відніміть 1 від 3, щоб отримати 2.

$$-6x+2+x^{2}-5\left(x+2\right)=1$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити -5 на x+2.

$$-6x+2+x^{2}-5x-10=1$$

Додайте -6x до -5x, щоб отримати -11x.

$$-11x+2+x^{2}-10=1$$

Відніміть 10 від 2, щоб отримати -8.

$$-11x-8+x^{2}=1$$

Відніміть 1 з обох сторін.

$$-11x-8+x^{2}-1=0$$

Відніміть 1 від -8, щоб отримати -9.

$$-11x-9+x^{2}=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$x^{2}-11x-9=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 1 замість a, -11 замість b і -9 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\left(-9\right)}}{2}$$

Піднесіть -11 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\left(-9\right)}}{2}$$

Помножте -4 на -9.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+36}}{2}$$

Додайте 121 до 36.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{157}}{2}$$

Число, протилежне до -11, дорівнює 11.

$$x=\frac{11±\sqrt{157}}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{11±\sqrt{157}}{2} за додатного значення ±. Додайте 11 до \sqrt{157}.

$$x=\frac{\sqrt{157}+11}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{11±\sqrt{157}}{2} за від’ємного значення ±. Відніміть \sqrt{157} від 11.

$$x=\frac{11-\sqrt{157}}{2}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{\sqrt{157}+11}{2} x=\frac{11-\sqrt{157}}{2}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити -3 на 2x-1.

$$-6x+3+\left(x+1\right)\left(x-1\right)-5\left(x+2\right)=1$$

Розглянемо \left(x+1\right)\left(x-1\right). Множення можна виконати за правилом різниці квадратів: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Піднесіть 1 до квадрата.

$$-6x+3+x^{2}-1-5\left(x+2\right)=1$$

Відніміть 1 від 3, щоб отримати 2.

$$-6x+2+x^{2}-5\left(x+2\right)=1$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити -5 на x+2.

$$-6x+2+x^{2}-5x-10=1$$

Додайте -6x до -5x, щоб отримати -11x.

$$-11x+2+x^{2}-10=1$$

Відніміть 10 від 2, щоб отримати -8.

$$-11x-8+x^{2}=1$$

Додайте 8 до обох сторін.

$$-11x+x^{2}=1+8$$

Додайте 1 до 8, щоб обчислити 9.

$$-11x+x^{2}=9$$

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-11x=9$$

Поділіть -11 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{11}{2}. Потім додайте -\frac{11}{2} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-11x+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}=9+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{11}{2} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=9+\frac{121}{4}$$

Додайте 9 до \frac{121}{4}.

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=\frac{157}{4}$$

Розкладіть x^{2}-11x+\frac{121}{4} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{157}{4}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{157}{4}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{11}{2}=\frac{\sqrt{157}}{2} x-\frac{11}{2}=-\frac{\sqrt{157}}{2}$$

Додайте \frac{11}{2} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{\sqrt{157}+11}{2} x=\frac{11-\sqrt{157}}{2}$$