Розв'яжіть -231x^2-42x+67=0

$$- 231 x ^ { 2 } - 42 x + 67 = 0$$

Знайдіть x

$$x=\frac{\sqrt{15918}}{231}-\frac{1}{11}\approx 0,455266479$$

$$x=-\frac{\sqrt{15918}}{231}-\frac{1}{11}\approx -0,637084661$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$-231x^{2}-42x+67=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте -231 замість a, -42 замість b і 67 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-42\right)±\sqrt{\left(-42\right)^{2}-4\left(-231\right)\times 67}}{2\left(-231\right)}$$

Піднесіть -42 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-42\right)±\sqrt{1764-4\left(-231\right)\times 67}}{2\left(-231\right)}$$

Помножте -4 на -231.

$$x=\frac{-\left(-42\right)±\sqrt{1764+924\times 67}}{2\left(-231\right)}$$

Помножте 924 на 67.

$$x=\frac{-\left(-42\right)±\sqrt{1764+61908}}{2\left(-231\right)}$$

Додайте 1764 до 61908.

$$x=\frac{-\left(-42\right)±\sqrt{63672}}{2\left(-231\right)}$$

Видобудьте квадратний корінь із 63672.

$$x=\frac{-\left(-42\right)±2\sqrt{15918}}{2\left(-231\right)}$$

Число, протилежне до -42, дорівнює 42.

$$x=\frac{42±2\sqrt{15918}}{2\left(-231\right)}$$

Помножте 2 на -231.

$$x=\frac{42±2\sqrt{15918}}{-462}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{42±2\sqrt{15918}}{-462} за додатного значення ±. Додайте 42 до 2\sqrt{15918}.

$$x=\frac{2\sqrt{15918}+42}{-462}$$

Розділіть 42+2\sqrt{15918} на -462.

$$x=-\frac{\sqrt{15918}}{231}-\frac{1}{11}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{42±2\sqrt{15918}}{-462} за від’ємного значення ±. Відніміть 2\sqrt{15918} від 42.

$$x=\frac{42-2\sqrt{15918}}{-462}$$

Розділіть 42-2\sqrt{15918} на -462.

$$x=\frac{\sqrt{15918}}{231}-\frac{1}{11}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=-\frac{\sqrt{15918}}{231}-\frac{1}{11} x=\frac{\sqrt{15918}}{231}-\frac{1}{11}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$-231x^{2}-42x+67=0$$

Відніміть 67 від обох сторін цього рівняння.

$$-231x^{2}-42x+67-67=-67$$

Якщо відняти 67 від самого себе, залишиться 0.

$$-231x^{2}-42x=-67$$

Розділіть обидві сторони на -231.

$$\frac{-231x^{2}-42x}{-231}=-\frac{67}{-231}$$

Ділення на -231 скасовує множення на -231.

$$x^{2}+\left(-\frac{42}{-231}\right)x=-\frac{67}{-231}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 21, щоб звести дріб \frac{-42}{-231} до нескоротного вигляду.

$$x^{2}+\frac{2}{11}x=-\frac{67}{-231}$$

Розділіть -67 на -231.

$$x^{2}+\frac{2}{11}x=\frac{67}{231}$$

Поділіть \frac{2}{11} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати \frac{1}{11}. Потім додайте \frac{1}{11} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}+\frac{2}{11}x+\left(\frac{1}{11}\right)^{2}=\frac{67}{231}+\left(\frac{1}{11}\right)^{2}$$

Щоб піднести \frac{1}{11} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}+\frac{2}{11}x+\frac{1}{121}=\frac{67}{231}+\frac{1}{121}$$

Щоб додати \frac{67}{231} до \frac{1}{121}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}+\frac{2}{11}x+\frac{1}{121}=\frac{758}{2541}$$

Розкладіть x^{2}+\frac{2}{11}x+\frac{1}{121} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{11}\right)^{2}=\frac{758}{2541}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{11}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{758}{2541}}$$

Виконайте спрощення.

$$x+\frac{1}{11}=\frac{\sqrt{15918}}{231} x+\frac{1}{11}=-\frac{\sqrt{15918}}{231}$$

Відніміть \frac{1}{11} від обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{\sqrt{15918}}{231}-\frac{1}{11} x=-\frac{\sqrt{15918}}{231}-\frac{1}{11}$$