Розв'яжіть -2x^2-5x-3<0

$$- 2 x ^ { 2 } - 5 x - 3 < 0$$

Знайти x

$$x\in \left(-\infty,-\frac{3}{2}\right)\cup \left(-1,\infty\right)$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Помножте нерівність на -1, щоб коефіцієнт при найвищому ступені в -2x^{2}-5x-3 був додатний. Оскільки -1 від'ємне, нерівність напрямок.

$$2x^{2}+5x+3>0$$

Щоб розв’язати нерівність, розкладіть ліву частину на множники. Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$2x^{2}+5x+3=0$$

Усі рівняння вигляду ax^{2}+bx+c=0 можна вирішити за допомогою загальної формули для квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замініть у цій формулі 2 на a, 5 – на b, а 3 – на c.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 2\times 3}}{2\times 2}$$

Виконайте арифметичні операції.

$$x=\frac{-5±1}{4}$$

Розв’яжіть рівняння x=\frac{-5±1}{4} для випадку, коли замість ± використовується знак "плюс", і коли замість ± використовується знак "мінус".

$$x=-1 x=-\frac{3}{2}$$

Перепишіть нерівність за допомогою отриманих розв’язків.

$$2\left(x+1\right)\left(x+\frac{3}{2}\right)>0$$

Щоб добуток був додатний, x+1 і x+\frac{3}{2} мають одночасно бути або додатними, або від’ємними. Розглянемо випадок, коли x+1 і x+\frac{3}{2} від’ємні.

$$x+1<0 x+\frac{3}{2}<0$$

Обидві нерівності мають такий розв’язок: x<-\frac{3}{2}.

$$x<-\frac{3}{2}$$

Розглянемо випадок, коли x+1 і x+\frac{3}{2} додатні.

$$x+\frac{3}{2}>0 x+1>0$$

Обидві нерівності мають такий розв’язок: x>-1.

$$x>-1$$

Остаточний розв’язок – об’єднання отриманих розв’язків.

$$x<-\frac{3}{2}\text{; }x>-1$$