Розв'яжіть -2x^2+5x+5=0

$$- 2 x ^ { 2 } + 5 x + 5 = 0$$

Знайдіть x

$$x = \frac{\sqrt{65} + 5}{4} \approx 3,265564437$$

$$x=\frac{5-\sqrt{65}}{4}\approx -0,765564437$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$-2x^{2}+5x+5=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте -2 замість a, 5 замість b і 5 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\left(-2\right)\times 5}}{2\left(-2\right)}$$

Піднесіть 5 до квадрата.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\left(-2\right)\times 5}}{2\left(-2\right)}$$

Помножте -4 на -2.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+8\times 5}}{2\left(-2\right)}$$

Помножте 8 на 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+40}}{2\left(-2\right)}$$

Додайте 25 до 40.

$$x=\frac{-5±\sqrt{65}}{2\left(-2\right)}$$

Помножте 2 на -2.

$$x=\frac{-5±\sqrt{65}}{-4}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-5±\sqrt{65}}{-4} за додатного значення ±. Додайте -5 до \sqrt{65}.

$$x=\frac{\sqrt{65}-5}{-4}$$

Розділіть -5+\sqrt{65} на -4.

$$x=\frac{5-\sqrt{65}}{4}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-5±\sqrt{65}}{-4} за від’ємного значення ±. Відніміть \sqrt{65} від -5.

$$x=\frac{-\sqrt{65}-5}{-4}$$

Розділіть -5-\sqrt{65} на -4.

$$x=\frac{\sqrt{65}+5}{4}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{5-\sqrt{65}}{4} x=\frac{\sqrt{65}+5}{4}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$-2x^{2}+5x+5=0$$

Відніміть 5 від обох сторін цього рівняння.

$$-2x^{2}+5x+5-5=-5$$

Якщо відняти 5 від самого себе, залишиться 0.

$$-2x^{2}+5x=-5$$

Розділіть обидві сторони на -2.

$$\frac{-2x^{2}+5x}{-2}=-\frac{5}{-2}$$

Ділення на -2 скасовує множення на -2.

$$x^{2}+\frac{5}{-2}x=-\frac{5}{-2}$$

Розділіть 5 на -2.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x=-\frac{5}{-2}$$

Розділіть -5 на -2.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x=\frac{5}{2}$$

Поділіть -\frac{5}{2} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{5}{4}. Потім додайте -\frac{5}{4} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{5}{2}+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{5}{4} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{5}{2}+\frac{25}{16}$$

Щоб додати \frac{5}{2} до \frac{25}{16}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{65}{16}$$

Розкладіть x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{65}{16}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{65}{16}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{5}{4}=\frac{\sqrt{65}}{4} x-\frac{5}{4}=-\frac{\sqrt{65}}{4}$$

Додайте \frac{5}{4} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{\sqrt{65}+5}{4} x=\frac{5-\sqrt{65}}{4}$$