Розв'яжіть -2x^2+12x-14>0

$$- 2 x ^ { 2 } + 12 x - 14 > 0$$

Знайти x

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Помножте нерівність на -1, щоб коефіцієнт при найвищому ступені в -2x^{2}+12x-14 був додатний. Оскільки -1 <0, напрямок нерівності змінюється на протилежний.

$$2x^{2}-12x+14<0$$

Щоб розв’язати нерівність, розкладіть ліву частину на множники. Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$2x^{2}-12x+14=0$$

Усі рівняння вигляду ax^{2}+bx+c=0 можна вирішити за допомогою загальної формули для квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замініть у цій формулі 2 на a, -12 – на b, а 14 – на c.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 2\times 14}}{2\times 2}$$

Виконайте арифметичні операції.

$$x=\frac{12±4\sqrt{2}}{4}$$

Розв’яжіть рівняння x=\frac{12±4\sqrt{2}}{4} для випадку, коли замість ± використовується знак "плюс", і коли замість ± використовується знак "мінус".

$$x=\sqrt{2}+3 x=3-\sqrt{2}$$

Перепишіть нерівність за допомогою отриманих розв’язків.

$$2\left(x-\left(\sqrt{2}+3\right)\right)\left(x-\left(3-\sqrt{2}\right)\right)<0$$

Щоб добуток був від’ємний, x-\left(\sqrt{2}+3\right) і x-\left(3-\sqrt{2}\right) мають бути протилежних знаків. Розглянемо випадок, коли x-\left(\sqrt{2}+3\right) має додатне значення, а x-\left(3-\sqrt{2}\right) – від’ємне.

$$x-\left(\sqrt{2}+3\right)>0 x-\left(3-\sqrt{2}\right)<0$$

Це не виконується для жодного значення x.

$$x\in \emptyset$$

Розглянемо випадок, коли x-\left(3-\sqrt{2}\right) має додатне значення, а x-\left(\sqrt{2}+3\right) – від’ємне.

$$x-\left(3-\sqrt{2}\right)>0 x-\left(\sqrt{2}+3\right)<0$$

Обидві нерівності мають такий розв’язок: x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right).

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$

Остаточний розв’язок – об’єднання отриманих розв’язків.

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$