Розв'яжіть -18a^2-102a+168

$$- 18 a ^ { 2 } - 102 a + 168$$

Розкласти на множники

$$6\left(-a-7\right)\left(3a-4\right)$$

Покрокове розв’язання

Винесіть 6 за дужки.

$$6\left(-3a^{2}-17a+28\right)$$

Розглянемо -3a^{2}-17a+28. Розкладіть вираз на множники методом групування. Спочатку вираз потрібно переписати у вигляді -3a^{2}+pa+qa+28. Щоб знайти p та q, настройте систему для вирішено.

$$p+q=-17 pq=-3\times 28=-84$$

Оскільки pq від'ємне, p і q протилежному знаки. Оскільки значення p+q від’ємне, від’ємне число за модулем більше за додатне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -84.

$$1,-84 2,-42 3,-28 4,-21 6,-14 7,-12$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$1-84=-83 2-42=-40 3-28=-25 4-21=-17 6-14=-8 7-12=-5$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює -17.

$$p=4 q=-21$$

Перепишіть -3a^{2}-17a+28 як \left(-3a^{2}+4a\right)+\left(-21a+28\right).

$$\left(-3a^{2}+4a\right)+\left(-21a+28\right)$$

-a на першій та -7 в друге групу.

$$-a\left(3a-4\right)-7\left(3a-4\right)$$

Винесіть за дужки спільний член 3a-4, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(3a-4\right)\left(-a-7\right)$$

Переписати повністю розкладений на множники вираз.

$$6\left(3a-4\right)\left(-a-7\right)$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$-18a^{2}-102a+168=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$a=\frac{-\left(-102\right)±\sqrt{\left(-102\right)^{2}-4\left(-18\right)\times 168}}{2\left(-18\right)}$$

Піднесіть -102 до квадрата.

$$a=\frac{-\left(-102\right)±\sqrt{10404-4\left(-18\right)\times 168}}{2\left(-18\right)}$$

Помножте -4 на -18.

$$a=\frac{-\left(-102\right)±\sqrt{10404+72\times 168}}{2\left(-18\right)}$$

Помножте 72 на 168.

$$a=\frac{-\left(-102\right)±\sqrt{10404+12096}}{2\left(-18\right)}$$

Додайте 10404 до 12096.

$$a=\frac{-\left(-102\right)±\sqrt{22500}}{2\left(-18\right)}$$

Видобудьте квадратний корінь із 22500.

$$a=\frac{-\left(-102\right)±150}{2\left(-18\right)}$$

Число, протилежне до -102, дорівнює 102.

$$a=\frac{102±150}{2\left(-18\right)}$$

Помножте 2 на -18.

$$a=\frac{102±150}{-36}$$

Тепер розв’яжіть рівняння a=\frac{102±150}{-36} за додатного значення ±. Додайте 102 до 150.

$$a=\frac{252}{-36}$$

Розділіть 252 на -36.

$$a=-7$$

Тепер розв’яжіть рівняння a=\frac{102±150}{-36} за від’ємного значення ±. Відніміть 150 від 102.

$$a=-\frac{48}{-36}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 12, щоб звести дріб \frac{-48}{-36} до нескоротного вигляду.

$$a=\frac{4}{3}$$

Розкладіть вихідний вираз на множники за принципом ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Замініть -7 на x_{1} та \frac{4}{3} на x_{2}.

$$-18a^{2}-102a+168=-18\left(a-\left(-7\right)\right)\left(a-\frac{4}{3}\right)$$

Спростіть усі вирази виду p-\left(-q\right) до виразів виду p+q.

$$-18a^{2}-102a+168=-18\left(a+7\right)\left(a-\frac{4}{3}\right)$$

Щоб відняти a від \frac{4}{3}, визначте спільний знаменник і обчисліть різницю чисельників. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$-18a^{2}-102a+168=-18\left(a+7\right)\times \frac{-3a+4}{-3}$$

Відкиньте 3, тобто найбільший спільний дільник для -18 й 3.

$$-18a^{2}-102a+168=6\left(a+7\right)\left(-3a+4\right)$$

Обчислити

$$168-102a-18a^{2}$$