Розв'яжіть -16t^2+96t-108

$$- 16 t ^ { 2 } + 96 t - 108$$

Розкласти на множники

$$4\left(3-2t\right)\left(2t-9\right)$$

Покрокове розв’язання

Винесіть 4 за дужки.

$$4\left(-4t^{2}+24t-27\right)$$

Розглянемо -4t^{2}+24t-27. Розкладіть вираз на множники методом групування. Спочатку вираз потрібно переписати у вигляді -4t^{2}+at+bt-27. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=24 ab=-4\left(-27\right)=108$$

Оскільки ab додатне, a та b мають однаковий знак. Оскільки a+b додатне, a і b – це не додатне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює 108.

$$1,108 2,54 3,36 4,27 6,18 9,12$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$1+108=109 2+54=56 3+36=39 4+27=31 6+18=24 9+12=21$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює 24.

$$a=18 b=6$$

Перепишіть -4t^{2}+24t-27 як \left(-4t^{2}+18t\right)+\left(6t-27\right).

$$\left(-4t^{2}+18t\right)+\left(6t-27\right)$$

-2t на першій та 3 в друге групу.

$$-2t\left(2t-9\right)+3\left(2t-9\right)$$

Винесіть за дужки спільний член 2t-9, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(2t-9\right)\left(-2t+3\right)$$

Переписати повністю розкладений на множники вираз.

$$4\left(2t-9\right)\left(-2t+3\right)$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$-16t^{2}+96t-108=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$t=\frac{-96±\sqrt{96^{2}-4\left(-16\right)\left(-108\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Піднесіть 96 до квадрата.

$$t=\frac{-96±\sqrt{9216-4\left(-16\right)\left(-108\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Помножте -4 на -16.

$$t=\frac{-96±\sqrt{9216+64\left(-108\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Помножте 64 на -108.

$$t=\frac{-96±\sqrt{9216-6912}}{2\left(-16\right)}$$

Додайте 9216 до -6912.

$$t=\frac{-96±\sqrt{2304}}{2\left(-16\right)}$$

Видобудьте квадратний корінь із 2304.

$$t=\frac{-96±48}{2\left(-16\right)}$$

Помножте 2 на -16.

$$t=\frac{-96±48}{-32}$$

Тепер розв’яжіть рівняння t=\frac{-96±48}{-32} за додатного значення ±. Додайте -96 до 48.

$$t=-\frac{48}{-32}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 16, щоб звести дріб \frac{-48}{-32} до нескоротного вигляду.

$$t=\frac{3}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння t=\frac{-96±48}{-32} за від’ємного значення ±. Відніміть 48 від -96.

$$t=-\frac{144}{-32}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 16, щоб звести дріб \frac{-144}{-32} до нескоротного вигляду.

$$t=\frac{9}{2}$$

Розкладіть вихідний вираз на множники за принципом ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Замініть \frac{3}{2} на x_{1} та \frac{9}{2} на x_{2}.

$$-16t^{2}+96t-108=-16\left(t-\frac{3}{2}\right)\left(t-\frac{9}{2}\right)$$

Щоб відняти t від \frac{3}{2}, визначте спільний знаменник і обчисліть різницю чисельників. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$-16t^{2}+96t-108=-16\times \frac{-2t+3}{-2}\left(t-\frac{9}{2}\right)$$

Щоб відняти t від \frac{9}{2}, визначте спільний знаменник і обчисліть різницю чисельників. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$-16t^{2}+96t-108=-16\times \frac{-2t+3}{-2}\times \frac{-2t+9}{-2}$$

Щоб помножити \frac{-2t+3}{-2} на \frac{-2t+9}{-2}, помножте чисельник на чисельник і знаменник на знаменник. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$-16t^{2}+96t-108=-16\times \frac{\left(-2t+3\right)\left(-2t+9\right)}{-2\left(-2\right)}$$

Помножте -2 на -2.

$$-16t^{2}+96t-108=-16\times \frac{\left(-2t+3\right)\left(-2t+9\right)}{4}$$

Відкиньте 4, тобто найбільший спільний дільник для -16 й 4.

$$-16t^{2}+96t-108=-4\left(-2t+3\right)\left(-2t+9\right)$$

Обчислити

$$-16t^{2}+96t-108$$