Розв'яжіть -16t^2+92t+20=0

$$- 16 t ^ { 2 } + 92 t + 20 = 0$$

Знайдіть t

$$t = \frac{\sqrt{609} + 23}{8} \approx 5,95974067$$

$$t=\frac{23-\sqrt{609}}{8}\approx -0,20974067$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$-16t^{2}+92t+20=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте -16 замість a, 92 замість b і 20 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-92±\sqrt{92^{2}-4\left(-16\right)\times 20}}{2\left(-16\right)}$$

Піднесіть 92 до квадрата.

$$t=\frac{-92±\sqrt{8464-4\left(-16\right)\times 20}}{2\left(-16\right)}$$

Помножте -4 на -16.

$$t=\frac{-92±\sqrt{8464+64\times 20}}{2\left(-16\right)}$$

Помножте 64 на 20.

$$t=\frac{-92±\sqrt{8464+1280}}{2\left(-16\right)}$$

Додайте 8464 до 1280.

$$t=\frac{-92±\sqrt{9744}}{2\left(-16\right)}$$

Видобудьте квадратний корінь із 9744.

$$t=\frac{-92±4\sqrt{609}}{2\left(-16\right)}$$

Помножте 2 на -16.

$$t=\frac{-92±4\sqrt{609}}{-32}$$

Тепер розв’яжіть рівняння t=\frac{-92±4\sqrt{609}}{-32} за додатного значення ±. Додайте -92 до 4\sqrt{609}.

$$t=\frac{4\sqrt{609}-92}{-32}$$

Розділіть -92+4\sqrt{609} на -32.

$$t=\frac{23-\sqrt{609}}{8}$$

Тепер розв’яжіть рівняння t=\frac{-92±4\sqrt{609}}{-32} за від’ємного значення ±. Відніміть 4\sqrt{609} від -92.

$$t=\frac{-4\sqrt{609}-92}{-32}$$

Розділіть -92-4\sqrt{609} на -32.

$$t=\frac{\sqrt{609}+23}{8}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$t=\frac{23-\sqrt{609}}{8} t=\frac{\sqrt{609}+23}{8}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$-16t^{2}+92t+20=0$$

Відніміть 20 від обох сторін цього рівняння.

$$-16t^{2}+92t+20-20=-20$$

Якщо відняти 20 від самого себе, залишиться 0.

$$-16t^{2}+92t=-20$$

Розділіть обидві сторони на -16.

$$\frac{-16t^{2}+92t}{-16}=-\frac{20}{-16}$$

Ділення на -16 скасовує множення на -16.

$$t^{2}+\frac{92}{-16}t=-\frac{20}{-16}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 4, щоб звести дріб \frac{92}{-16} до нескоротного вигляду.

$$t^{2}-\frac{23}{4}t=-\frac{20}{-16}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 4, щоб звести дріб \frac{-20}{-16} до нескоротного вигляду.

$$t^{2}-\frac{23}{4}t=\frac{5}{4}$$

Поділіть -\frac{23}{4} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{23}{8}. Потім додайте -\frac{23}{8} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$t^{2}-\frac{23}{4}t+\left(-\frac{23}{8}\right)^{2}=\frac{5}{4}+\left(-\frac{23}{8}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{23}{8} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$t^{2}-\frac{23}{4}t+\frac{529}{64}=\frac{5}{4}+\frac{529}{64}$$

Щоб додати \frac{5}{4} до \frac{529}{64}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$t^{2}-\frac{23}{4}t+\frac{529}{64}=\frac{609}{64}$$

Розкладіть t^{2}-\frac{23}{4}t+\frac{529}{64} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{23}{8}\right)^{2}=\frac{609}{64}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(t-\frac{23}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{609}{64}}$$

Виконайте спрощення.

$$t-\frac{23}{8}=\frac{\sqrt{609}}{8} t-\frac{23}{8}=-\frac{\sqrt{609}}{8}$$

Додайте \frac{23}{8} до обох сторін цього рівняння.

$$t=\frac{\sqrt{609}+23}{8} t=\frac{23-\sqrt{609}}{8}$$