Розв'яжіть -16t^2+64t+80=128

$$- 16 t ^ { 2 } + 64 t + 80 = 128$$

Знайдіть t

$$t=1$$

$$t=3$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Відніміть 128 з обох сторін.

$$-16t^{2}+64t+80-128=0$$

Відніміть 128 від 80, щоб отримати -48.

$$-16t^{2}+64t-48=0$$

Розділіть обидві сторони на 16.

$$-t^{2}+4t-3=0$$

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді -t^{2}+at+bt-3. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=4 ab=-\left(-3\right)=3$$

Оскільки ab додатне, a та b мають однаковий знак. Оскільки a+b додатне, a і b – це не додатне. Єдиною такою парою буде розв’язок системи рівнянь.

$$a=3 b=1$$

Перепишіть -t^{2}+4t-3 як \left(-t^{2}+3t\right)+\left(t-3\right).

$$\left(-t^{2}+3t\right)+\left(t-3\right)$$

Винесіть за дужки -t в -t^{2}+3t.

$$-t\left(t-3\right)+t-3$$

Винесіть за дужки спільний член t-3, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(t-3\right)\left(-t+1\right)$$

Щоб знайти рішення для формул, Розв'яжіть t-3=0 та -t+1=0.

$$t=3 t=1$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$-16t^{2}+64t+80=128$$

Відніміть 128 від обох сторін цього рівняння.

$$-16t^{2}+64t+80-128=128-128$$

Якщо відняти 128 від самого себе, залишиться 0.

$$-16t^{2}+64t+80-128=0$$

Відніміть 128 від 80.

$$-16t^{2}+64t-48=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте -16 замість a, 64 замість b і -48 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-64±\sqrt{64^{2}-4\left(-16\right)\left(-48\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Піднесіть 64 до квадрата.

$$t=\frac{-64±\sqrt{4096-4\left(-16\right)\left(-48\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Помножте -4 на -16.

$$t=\frac{-64±\sqrt{4096+64\left(-48\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Помножте 64 на -48.

$$t=\frac{-64±\sqrt{4096-3072}}{2\left(-16\right)}$$

Додайте 4096 до -3072.

$$t=\frac{-64±\sqrt{1024}}{2\left(-16\right)}$$

Видобудьте квадратний корінь із 1024.

$$t=\frac{-64±32}{2\left(-16\right)}$$

Помножте 2 на -16.

$$t=\frac{-64±32}{-32}$$

Тепер розв’яжіть рівняння t=\frac{-64±32}{-32} за додатного значення ±. Додайте -64 до 32.

$$t=-\frac{32}{-32}$$

Розділіть -32 на -32.

$$t=1$$

Тепер розв’яжіть рівняння t=\frac{-64±32}{-32} за від’ємного значення ±. Відніміть 32 від -64.

$$t=-\frac{96}{-32}$$

Розділіть -96 на -32.

$$t=3$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$t=1 t=3$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$-16t^{2}+64t+80=128$$

Відніміть 80 від обох сторін цього рівняння.

$$-16t^{2}+64t+80-80=128-80$$

Якщо відняти 80 від самого себе, залишиться 0.

$$-16t^{2}+64t=128-80$$

Відніміть 80 від 128.

$$-16t^{2}+64t=48$$

Розділіть обидві сторони на -16.

$$\frac{-16t^{2}+64t}{-16}=\frac{48}{-16}$$

Ділення на -16 скасовує множення на -16.

$$t^{2}+\frac{64}{-16}t=\frac{48}{-16}$$

Розділіть 64 на -16.

$$t^{2}-4t=\frac{48}{-16}$$

Розділіть 48 на -16.

$$t^{2}-4t=-3$$

Поділіть -4 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -2. Потім додайте -2 у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$t^{2}-4t+\left(-2\right)^{2}=-3+\left(-2\right)^{2}$$

Піднесіть -2 до квадрата.

$$t^{2}-4t+4=-3+4$$

Додайте -3 до 4.

$$t^{2}-4t+4=1$$

Розкладіть t^{2}-4t+4 на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-2\right)^{2}=1$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(t-2\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

Виконайте спрощення.

$$t-2=1 t-2=-1$$

Додайте 2 до обох сторін цього рівняння.

$$t=3 t=1$$