Розв'яжіть -14x^2+x+4=0

$$- 14 x ^ { 2 } + x + 4 = 0$$

Знайдіть x

$$x=\frac{4}{7}\approx 0,571428571$$

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді -14x^{2}+ax+bx+4. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=1 ab=-14\times 4=-56$$

Оскільки ab від'ємне, a і b протилежному знаки. Оскільки значення a+b додатне, додатне число за модулем більше за від’ємне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -56.

$$-1,56 -2,28 -4,14 -7,8$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$-1+56=55 -2+28=26 -4+14=10 -7+8=1$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює 1.

$$a=8 b=-7$$

Перепишіть -14x^{2}+x+4 як \left(-14x^{2}+8x\right)+\left(-7x+4\right).

$$\left(-14x^{2}+8x\right)+\left(-7x+4\right)$$

Винесіть за дужки 2x в -14x^{2}+8x.

$$2x\left(-7x+4\right)-7x+4$$

Винесіть за дужки спільний член -7x+4, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(-7x+4\right)\left(2x+1\right)$$

Щоб знайти рішення для формул, Розв'яжіть -7x+4=0 та 2x+1=0.

$$x=\frac{4}{7} x=-\frac{1}{2}$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$-14x^{2}+x+4=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте -14 замість a, 1 замість b і 4 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-14\right)\times 4}}{2\left(-14\right)}$$

Піднесіть 1 до квадрата.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-14\right)\times 4}}{2\left(-14\right)}$$

Помножте -4 на -14.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+56\times 4}}{2\left(-14\right)}$$

Помножте 56 на 4.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+224}}{2\left(-14\right)}$$

Додайте 1 до 224.

$$x=\frac{-1±\sqrt{225}}{2\left(-14\right)}$$

Видобудьте квадратний корінь із 225.

$$x=\frac{-1±15}{2\left(-14\right)}$$

Помножте 2 на -14.

$$x=\frac{-1±15}{-28}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-1±15}{-28} за додатного значення ±. Додайте -1 до 15.

$$x=\frac{14}{-28}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 14, щоб звести дріб \frac{14}{-28} до нескоротного вигляду.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-1±15}{-28} за від’ємного значення ±. Відніміть 15 від -1.

$$x=-\frac{16}{-28}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 4, щоб звести дріб \frac{-16}{-28} до нескоротного вигляду.

$$x=\frac{4}{7}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=-\frac{1}{2} x=\frac{4}{7}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$-14x^{2}+x+4=0$$

Відніміть 4 від обох сторін цього рівняння.

$$-14x^{2}+x+4-4=-4$$

Якщо відняти 4 від самого себе, залишиться 0.

$$-14x^{2}+x=-4$$

Розділіть обидві сторони на -14.

$$\frac{-14x^{2}+x}{-14}=-\frac{4}{-14}$$

Ділення на -14 скасовує множення на -14.

$$x^{2}+\frac{1}{-14}x=-\frac{4}{-14}$$

Розділіть 1 на -14.

$$x^{2}-\frac{1}{14}x=-\frac{4}{-14}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 2, щоб звести дріб \frac{-4}{-14} до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{1}{14}x=\frac{2}{7}$$

Поділіть -\frac{1}{14} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{1}{28}. Потім додайте -\frac{1}{28} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-\frac{1}{14}x+\left(-\frac{1}{28}\right)^{2}=\frac{2}{7}+\left(-\frac{1}{28}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{1}{28} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-\frac{1}{14}x+\frac{1}{784}=\frac{2}{7}+\frac{1}{784}$$

Щоб додати \frac{2}{7} до \frac{1}{784}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{1}{14}x+\frac{1}{784}=\frac{225}{784}$$

Розкладіть x^{2}-\frac{1}{14}x+\frac{1}{784} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{28}\right)^{2}=\frac{225}{784}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{28}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{784}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{1}{28}=\frac{15}{28} x-\frac{1}{28}=-\frac{15}{28}$$

Додайте \frac{1}{28} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{4}{7} x=-\frac{1}{2}$$