Розв'яжіть -y^2+10y+400=0

$$- { y }^{ 2 } +10y+400=0$$

Знайдіть y

$$y=5\sqrt{17}+5\approx 25,615528128$$

$$y=5-5\sqrt{17}\approx -15,615528128$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$-y^{2}+10y+400=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте -1 замість a, 10 замість b і 400 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\left(-1\right)\times 400}}{2\left(-1\right)}$$

Піднесіть 10 до квадрата.

$$y=\frac{-10±\sqrt{100-4\left(-1\right)\times 400}}{2\left(-1\right)}$$

Помножте -4 на -1.

$$y=\frac{-10±\sqrt{100+4\times 400}}{2\left(-1\right)}$$

Помножте 4 на 400.

$$y=\frac{-10±\sqrt{100+1600}}{2\left(-1\right)}$$

Додайте 100 до 1600.

$$y=\frac{-10±\sqrt{1700}}{2\left(-1\right)}$$

Видобудьте квадратний корінь із 1700.

$$y=\frac{-10±10\sqrt{17}}{2\left(-1\right)}$$

Помножте 2 на -1.

$$y=\frac{-10±10\sqrt{17}}{-2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння y=\frac{-10±10\sqrt{17}}{-2} за додатного значення ±. Додайте -10 до 10\sqrt{17}.

$$y=\frac{10\sqrt{17}-10}{-2}$$

Розділіть -10+10\sqrt{17} на -2.

$$y=5-5\sqrt{17}$$

Тепер розв’яжіть рівняння y=\frac{-10±10\sqrt{17}}{-2} за від’ємного значення ±. Відніміть 10\sqrt{17} від -10.

$$y=\frac{-10\sqrt{17}-10}{-2}$$

Розділіть -10-10\sqrt{17} на -2.

$$y=5\sqrt{17}+5$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$y=5-5\sqrt{17} y=5\sqrt{17}+5$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$-y^{2}+10y+400=0$$

Відніміть 400 від обох сторін цього рівняння.

$$-y^{2}+10y+400-400=-400$$

Якщо відняти 400 від самого себе, залишиться 0.

$$-y^{2}+10y=-400$$

Розділіть обидві сторони на -1.

$$\frac{-y^{2}+10y}{-1}=-\frac{400}{-1}$$

Ділення на -1 скасовує множення на -1.

$$y^{2}+\frac{10}{-1}y=-\frac{400}{-1}$$

Розділіть 10 на -1.

$$y^{2}-10y=-\frac{400}{-1}$$

Розділіть -400 на -1.

$$y^{2}-10y=400$$

Поділіть -10 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -5. Потім додайте -5 у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$y^{2}-10y+\left(-5\right)^{2}=400+\left(-5\right)^{2}$$

Піднесіть -5 до квадрата.

$$y^{2}-10y+25=400+25$$

Додайте 400 до 25.

$$y^{2}-10y+25=425$$

Розкладіть y^{2}-10y+25 на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-5\right)^{2}=425$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(y-5\right)^{2}}=\sqrt{425}$$

Виконайте спрощення.

$$y-5=5\sqrt{17} y-5=-5\sqrt{17}$$

Додайте 5 до обох сторін цього рівняння.

$$y=5\sqrt{17}+5 y=5-5\sqrt{17}$$