Розв'яжіть -1/3(x+2)(x-1/3)>0

$$- \frac { 1 } { 3 } ( x + 2 ) ( x - \frac { 1 } { 3 } ) > 0$$

Знайти x

$$x\in \left(-2,\frac{1}{3}\right)$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити -\frac{1}{3} на x+2.

$$\left(-\frac{1}{3}x-\frac{2}{3}\right)\left(x-\frac{1}{3}\right)>0$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити -\frac{1}{3}x-\frac{2}{3} на x-\frac{1}{3} і звести подібні члени.

$$-\frac{1}{3}x^{2}-\frac{5}{9}x+\frac{2}{9}>0$$

Помножте нерівність на -1, щоб коефіцієнт при найвищому ступені в -\frac{1}{3}x^{2}-\frac{5}{9}x+\frac{2}{9} був додатний. Оскільки -1 від'ємне, нерівність напрямок.

$$\frac{1}{3}x^{2}+\frac{5}{9}x-\frac{2}{9}<0$$

Щоб розв’язати нерівність, розкладіть ліву частину на множники. Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$\frac{1}{3}x^{2}+\frac{5}{9}x-\frac{2}{9}=0$$

Усі рівняння вигляду ax^{2}+bx+c=0 можна вирішити за допомогою загальної формули для квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замініть у цій формулі \frac{1}{3} на a, \frac{5}{9} – на b, а -\frac{2}{9} – на c.

$$x=\frac{-\frac{5}{9}±\sqrt{\left(\frac{5}{9}\right)^{2}-4\times \frac{1}{3}\left(-\frac{2}{9}\right)}}{\frac{1}{3}\times 2}$$

Виконайте арифметичні операції.

$$x=\frac{-\frac{5}{9}±\frac{7}{9}}{\frac{2}{3}}$$

Розв’яжіть рівняння x=\frac{-\frac{5}{9}±\frac{7}{9}}{\frac{2}{3}} для випадку, коли замість ± використовується знак "плюс", і коли замість ± використовується знак "мінус".

$$x=\frac{1}{3} x=-2$$

Перепишіть нерівність за допомогою отриманих розв’язків.

$$\frac{1}{3}\left(x-\frac{1}{3}\right)\left(x+2\right)<0$$

Щоб добуток був від’ємний, x-\frac{1}{3} і x+2 мають бути протилежних знаків. Розглянемо випадок, коли x-\frac{1}{3} має додатне значення, а x+2 – від’ємне.

$$x-\frac{1}{3}>0 x+2<0$$

Це не виконується для жодного значення x.

$$x\in \emptyset$$

Розглянемо випадок, коли x+2 має додатне значення, а x-\frac{1}{3} – від’ємне.

$$x+2>0 x-\frac{1}{3}<0$$

Обидві нерівності мають такий розв’язок: x\in \left(-2,\frac{1}{3}\right).

$$x\in \left(-2,\frac{1}{3}\right)$$

Остаточний розв’язок – об’єднання отриманих розв’язків.

$$x\in \left(-2,\frac{1}{3}\right)$$