Розв'яжіть (50-(x-100/5))x-1100>0

$$(50-( \frac{ x-100 }{ 5 } ))x-1100 > 0$$

Знайти x

$$x\in \left(175-5\sqrt{1005},5\sqrt{1005}+175\right)$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Помножте обидві сторони цього рівняння на 5. Оскільки 5 додатне, напрямок нерівність залишається без змін.

$$5\left(50-\frac{x-100}{5}\right)x-5500>0$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 5 на 50-\frac{x-100}{5}.

$$\left(250+5\left(-\frac{x-100}{5}\right)\right)x-5500>0$$

Виразіть 5\left(-\frac{x-100}{5}\right) як єдиний дріб.

$$\left(250+\frac{-5\left(x-100\right)}{5}\right)x-5500>0$$

Відкиньте 5 і 5.

$$\left(250-\left(x-100\right)\right)x-5500>0$$

Щоб знайти протилежне виразу x-100, знайдіть протилежне значення для кожного члена.

$$\left(250-x-\left(-100\right)\right)x-5500>0$$

Число, протилежне до -100, дорівнює 100.

$$\left(250-x+100\right)x-5500>0$$

Додайте 250 до 100, щоб обчислити 350.

$$\left(350-x\right)x-5500>0$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 350-x на x.

$$350x-x^{2}-5500>0$$

Помножте нерівність на -1, щоб коефіцієнт при найвищому ступені в 350x-x^{2}-5500 був додатний. Оскільки -1 від'ємне, нерівність напрямок.

$$-350x+x^{2}+5500<0$$

Щоб розв’язати нерівність, розкладіть ліву частину на множники. Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$-350x+x^{2}+5500=0$$

Усі рівняння вигляду ax^{2}+bx+c=0 можна вирішити за допомогою загальної формули для квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замініть у цій формулі 1 на a, -350 – на b, а 5500 – на c.

$$x=\frac{-\left(-350\right)±\sqrt{\left(-350\right)^{2}-4\times 1\times 5500}}{2}$$

Виконайте арифметичні операції.

$$x=\frac{350±10\sqrt{1005}}{2}$$

Розв’яжіть рівняння x=\frac{350±10\sqrt{1005}}{2} для випадку, коли замість ± використовується знак "плюс", і коли замість ± використовується знак "мінус".

$$x=5\sqrt{1005}+175 x=175-5\sqrt{1005}$$

Перепишіть нерівність за допомогою отриманих розв’язків.

$$\left(x-\left(5\sqrt{1005}+175\right)\right)\left(x-\left(175-5\sqrt{1005}\right)\right)<0$$

Щоб добуток був від’ємний, x-\left(5\sqrt{1005}+175\right) і x-\left(175-5\sqrt{1005}\right) мають бути протилежних знаків. Розглянемо випадок, коли x-\left(5\sqrt{1005}+175\right) має додатне значення, а x-\left(175-5\sqrt{1005}\right) – від’ємне.

$$x-\left(5\sqrt{1005}+175\right)>0 x-\left(175-5\sqrt{1005}\right)<0$$

Це не виконується для жодного значення x.

$$x\in \emptyset$$

Розглянемо випадок, коли x-\left(175-5\sqrt{1005}\right) має додатне значення, а x-\left(5\sqrt{1005}+175\right) – від’ємне.

$$x-\left(175-5\sqrt{1005}\right)>0 x-\left(5\sqrt{1005}+175\right)<0$$

Обидві нерівності мають такий розв’язок: x\in \left(175-5\sqrt{1005},5\sqrt{1005}+175\right).

$$x\in \left(175-5\sqrt{1005},5\sqrt{1005}+175\right)$$

Остаточний розв’язок – об’єднання отриманих розв’язків.

$$x\in \left(175-5\sqrt{1005},5\sqrt{1005}+175\right)$$