Розв'яжіть (-y^2+3y+5=0)

$$(- { y }^{ 2 } +3y+5=0)$$

Знайдіть y

$$y = \frac{\sqrt{29} + 3}{2} \approx 4,192582404$$

$$y=\frac{3-\sqrt{29}}{2}\approx -1,192582404$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$-y^{2}+3y+5=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте -1 замість a, 3 замість b і 5 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-1\right)\times 5}}{2\left(-1\right)}$$

Піднесіть 3 до квадрата.

$$y=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-1\right)\times 5}}{2\left(-1\right)}$$

Помножте -4 на -1.

$$y=\frac{-3±\sqrt{9+4\times 5}}{2\left(-1\right)}$$

Помножте 4 на 5.

$$y=\frac{-3±\sqrt{9+20}}{2\left(-1\right)}$$

Додайте 9 до 20.

$$y=\frac{-3±\sqrt{29}}{2\left(-1\right)}$$

Помножте 2 на -1.

$$y=\frac{-3±\sqrt{29}}{-2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння y=\frac{-3±\sqrt{29}}{-2} за додатного значення ±. Додайте -3 до \sqrt{29}.

$$y=\frac{\sqrt{29}-3}{-2}$$

Розділіть -3+\sqrt{29} на -2.

$$y=\frac{3-\sqrt{29}}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння y=\frac{-3±\sqrt{29}}{-2} за від’ємного значення ±. Відніміть \sqrt{29} від -3.

$$y=\frac{-\sqrt{29}-3}{-2}$$

Розділіть -3-\sqrt{29} на -2.

$$y=\frac{\sqrt{29}+3}{2}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$y=\frac{3-\sqrt{29}}{2} y=\frac{\sqrt{29}+3}{2}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$-y^{2}+3y+5=0$$

Відніміть 5 від обох сторін цього рівняння.

$$-y^{2}+3y+5-5=-5$$

Якщо відняти 5 від самого себе, залишиться 0.

$$-y^{2}+3y=-5$$

Розділіть обидві сторони на -1.

$$\frac{-y^{2}+3y}{-1}=-\frac{5}{-1}$$

Ділення на -1 скасовує множення на -1.

$$y^{2}+\frac{3}{-1}y=-\frac{5}{-1}$$

Розділіть 3 на -1.

$$y^{2}-3y=-\frac{5}{-1}$$

Розділіть -5 на -1.

$$y^{2}-3y=5$$

Поділіть -3 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{3}{2}. Потім додайте -\frac{3}{2} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$y^{2}-3y+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=5+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{3}{2} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$y^{2}-3y+\frac{9}{4}=5+\frac{9}{4}$$

Додайте 5 до \frac{9}{4}.

$$y^{2}-3y+\frac{9}{4}=\frac{29}{4}$$

Розкладіть y^{2}-3y+\frac{9}{4} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{29}{4}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(y-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{29}{4}}$$

Виконайте спрощення.

$$y-\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{29}}{2} y-\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{29}}{2}$$

Додайте \frac{3}{2} до обох сторін цього рівняння.

$$y=\frac{\sqrt{29}+3}{2} y=\frac{3-\sqrt{29}}{2}$$