Розв'яжіть (y+y^3/3+x^2/2)dx+1/4(x+xy^2)dy=0

$$( y + \frac { y ^ { 3 } } { 3 } + \frac { x ^ { 2 } } { 2 } ) d x + \frac { 1 } { 4 } ( x + x y ^ { 2 } ) d y = 0$$

Знайдіть d

$$\left\{\begin{matrix}\\d=0\text{, }&\text{unconditionally}\\d\in \mathrm{R}\text{, }&x=0\text{ or }y=\frac{7^{\frac{2}{3}}}{7}\left(\sqrt[3]{\frac{\sqrt{441x^{4}+875}}{7}-3x^{2}}-\sqrt[3]{\frac{\sqrt{441x^{4}+875}}{7}+3x^{2}}\right)\end{matrix}\right,$$

Покрокові інструкції з розв’язання лінійного рівняння

Помножте обидві сторони цього рівняння на 12 (найменше спільне кратне для 3,2,4).

$$12\left(y+\frac{y^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2}\right)dx+3\left(x+xy^{2}\right)dy=0$$

Щоб додавати або віднімати вирази, розкрийте дужки та приведіть їх до спільного знаменника. Найменше спільне кратне чисел 3 та 2 – це 6. Помножте \frac{y^{3}}{3} на \frac{2}{2}. Помножте \frac{x^{2}}{2} на \frac{3}{3}.

$$12\left(y+\frac{2y^{3}}{6}+\frac{3x^{2}}{6}\right)dx+3\left(x+xy^{2}\right)dy=0$$

Оскільки \frac{2y^{3}}{6} та \frac{3x^{2}}{6} мають однакову знаменник, додайте їх чисельників.

$$12\left(y+\frac{2y^{3}+3x^{2}}{6}\right)dx+3\left(x+xy^{2}\right)dy=0$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 12 на y+\frac{2y^{3}+3x^{2}}{6}.

$$\left(12y+12\times \frac{2y^{3}+3x^{2}}{6}\right)dx+3\left(x+xy^{2}\right)dy=0$$

Відкиньте 6, тобто найбільший спільний дільник для 12 й 6.

$$\left(12y+2\left(2y^{3}+3x^{2}\right)\right)dx+3\left(x+xy^{2}\right)dy=0$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 2 на 2y^{3}+3x^{2}.

$$\left(12y+4y^{3}+6x^{2}\right)dx+3\left(x+xy^{2}\right)dy=0$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 12y+4y^{3}+6x^{2} на d.

$$\left(12yd+4y^{3}d+6x^{2}d\right)x+3\left(x+xy^{2}\right)dy=0$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 12yd+4y^{3}d+6x^{2}d на x.

$$12ydx+4y^{3}dx+6dx^{3}+3\left(x+xy^{2}\right)dy=0$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 3 на x+xy^{2}.

$$12ydx+4y^{3}dx+6dx^{3}+\left(3x+3xy^{2}\right)dy=0$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 3x+3xy^{2} на d.

$$12ydx+4y^{3}dx+6dx^{3}+\left(3xd+3xy^{2}d\right)y=0$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 3xd+3xy^{2}d на y.

$$12ydx+4y^{3}dx+6dx^{3}+3xdy+3xdy^{3}=0$$

Додайте 12ydx до 3xdy, щоб отримати 15ydx.

$$15ydx+4y^{3}dx+6dx^{3}+3xdy^{3}=0$$

Додайте 4y^{3}dx до 3xdy^{3}, щоб отримати 7y^{3}dx.

$$15ydx+7y^{3}dx+6dx^{3}=0$$

Зведіть усі члени, що містять d.

$$\left(15yx+7y^{3}x+6x^{3}\right)d=0$$

Рівняння має стандартну форму.

$$\left(6x^{3}+7xy^{3}+15xy\right)d=0$$

Розділіть 0 на 15yx+7y^{3}x+6x^{3}.

$$d=0$$

Знайдіть x

$$\left\{\begin{matrix}\\x=0\text{, }&\text{unconditionally}\\x=\frac{\sqrt{-42y^{3}-90y}}{6}\text{; }x=-\frac{\sqrt{-42y^{3}-90y}}{6}\text{, }&y\leq 0\\x\in \mathrm{R}\text{, }&d=0\end{matrix}\right,$$