Розв'яжіть (x-9)^3=-27

$$( x - 9 ) ^ { 3 } = - 27$$

Знайдіть x (complex solution)

$$x=6$$

$$x=\frac{21+3\sqrt{3}i}{2}\approx 10,5+2,598076211i$$

$$x=\frac{-3\sqrt{3}i+21}{2}\approx 10,5-2,598076211i$$

Покрокове розв’язання

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a-b\right)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}, щоб розкрити дужки в \left(x-9\right)^{3}.

$$x^{3}-27x^{2}+243x-729=-27$$

Додайте 27 до обох сторін.

$$x^{3}-27x^{2}+243x-729+27=0$$

Додайте -729 до 27, щоб обчислити -702.

$$x^{3}-27x^{2}+243x-702=0$$

За теоремою про раціональні корені всі раціональні корені многочлена мають вигляд \frac{p}{q}, де p ділить вільний член -702, а q ділить старший коефіцієнт многочлена 1. Перелічіть всі можливі \frac{p}{q}.

$$±702,±351,±234,±117,±78,±54,±39,±27,±26,±18,±13,±9,±6,±3,±2,±1$$

Знайдіть один такий корінь, перебравши всі цілі значення, починаючи з найменшого за модулем. Якщо не вдалося знайти жодного цілого кореня, спробуйте дроби.

$$x=6$$

За допомогою Ньютона, x-k – це коефіцієнт полінома для кожного кореневого k. Розділіть x^{3}-27x^{2}+243x-702 на x-6, щоб отримати x^{2}-21x+117. Розв'яжіть рівняння, у якій результат дорівнює 0.

$$x^{2}-21x+117=0$$

Усі рівняння вигляду ax^{2}+bx+c=0 можна вирішити за допомогою загальної формули для квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замініть у цій формулі 1 на a, -21 – на b, а 117 – на c.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{\left(-21\right)^{2}-4\times 1\times 117}}{2}$$

Виконайте арифметичні операції.

$$x=\frac{21±\sqrt{-27}}{2}$$

Розв’яжіть рівняння x^{2}-21x+117=0 для випадку, коли замість ± використовується знак "плюс", і коли замість ± використовується знак "мінус".

$$x=\frac{-3i\sqrt{3}+21}{2} x=\frac{21+3i\sqrt{3}}{2}$$

Список усіх знайдених рішень.

$$x=6 x=\frac{-3i\sqrt{3}+21}{2} x=\frac{21+3i\sqrt{3}}{2}$$

Знайдіть x

$$x=6$$

Покрокове розв’язання

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a-b\right)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}, щоб розкрити дужки в \left(x-9\right)^{3}.

$$x^{3}-27x^{2}+243x-729=-27$$

Додайте 27 до обох сторін.

$$x^{3}-27x^{2}+243x-729+27=0$$

Додайте -729 до 27, щоб обчислити -702.

$$x^{3}-27x^{2}+243x-702=0$$

За теоремою про раціональні корені всі раціональні корені многочлена мають вигляд \frac{p}{q}, де p ділить вільний член -702, а q ділить старший коефіцієнт многочлена 1. Перелічіть всі можливі \frac{p}{q}.

$$±702,±351,±234,±117,±78,±54,±39,±27,±26,±18,±13,±9,±6,±3,±2,±1$$

Знайдіть один такий корінь, перебравши всі цілі значення, починаючи з найменшого за модулем. Якщо не вдалося знайти жодного цілого кореня, спробуйте дроби.

$$x=6$$

За допомогою Ньютона, x-k – це коефіцієнт полінома для кожного кореневого k. Розділіть x^{3}-27x^{2}+243x-702 на x-6, щоб отримати x^{2}-21x+117. Розв'яжіть рівняння, у якій результат дорівнює 0.

$$x^{2}-21x+117=0$$

Усі рівняння вигляду ax^{2}+bx+c=0 можна вирішити за допомогою загальної формули для квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замініть у цій формулі 1 на a, -21 – на b, а 117 – на c.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{\left(-21\right)^{2}-4\times 1\times 117}}{2}$$

Виконайте арифметичні операції.

$$x=\frac{21±\sqrt{-27}}{2}$$

Оскільки квадратний корінь із від’ємного числа не визначений на множині дійсних чисел, розв’язку немає.

$$x\in \emptyset$$

Список усіх знайдених рішень.

$$x=6$$