Розв'яжіть (x-40)(500-10x)=8000

$$( x - 40 ) ( 500 - 10 x ) = 8000$$

Знайдіть x (complex solution)

$$x=45+5\sqrt{31}i\approx 45+27,838821814i$$

$$x=-5\sqrt{31}i+45\approx 45-27,838821814i$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити x-40 на 500-10x і звести подібні члени.

$$900x-10x^{2}-20000=8000$$

Відніміть 8000 з обох сторін.

$$900x-10x^{2}-20000-8000=0$$

Відніміть 8000 від -20000, щоб отримати -28000.

$$900x-10x^{2}-28000=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$-10x^{2}+900x-28000=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте -10 замість a, 900 замість b і -28000 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-900±\sqrt{900^{2}-4\left(-10\right)\left(-28000\right)}}{2\left(-10\right)}$$

Піднесіть 900 до квадрата.

$$x=\frac{-900±\sqrt{810000-4\left(-10\right)\left(-28000\right)}}{2\left(-10\right)}$$

Помножте -4 на -10.

$$x=\frac{-900±\sqrt{810000+40\left(-28000\right)}}{2\left(-10\right)}$$

Помножте 40 на -28000.

$$x=\frac{-900±\sqrt{810000-1120000}}{2\left(-10\right)}$$

Додайте 810000 до -1120000.

$$x=\frac{-900±\sqrt{-310000}}{2\left(-10\right)}$$

Видобудьте квадратний корінь із -310000.

$$x=\frac{-900±100\sqrt{31}i}{2\left(-10\right)}$$

Помножте 2 на -10.

$$x=\frac{-900±100\sqrt{31}i}{-20}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-900±100\sqrt{31}i}{-20} за додатного значення ±. Додайте -900 до 100i\sqrt{31}.

$$x=\frac{-900+100\sqrt{31}i}{-20}$$

Розділіть -900+100i\sqrt{31} на -20.

$$x=-5\sqrt{31}i+45$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-900±100\sqrt{31}i}{-20} за від’ємного значення ±. Відніміть 100i\sqrt{31} від -900.

$$x=\frac{-100\sqrt{31}i-900}{-20}$$

Розділіть -900-100i\sqrt{31} на -20.

$$x=45+5\sqrt{31}i$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=-5\sqrt{31}i+45 x=45+5\sqrt{31}i$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити x-40 на 500-10x і звести подібні члени.

$$900x-10x^{2}-20000=8000$$

Додайте 20000 до обох сторін.

$$900x-10x^{2}=8000+20000$$

Додайте 8000 до 20000, щоб обчислити 28000.

$$900x-10x^{2}=28000$$

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$-10x^{2}+900x=28000$$

Розділіть обидві сторони на -10.

$$\frac{-10x^{2}+900x}{-10}=\frac{28000}{-10}$$

Ділення на -10 скасовує множення на -10.

$$x^{2}+\frac{900}{-10}x=\frac{28000}{-10}$$

Розділіть 900 на -10.

$$x^{2}-90x=\frac{28000}{-10}$$

Розділіть 28000 на -10.

$$x^{2}-90x=-2800$$

Поділіть -90 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -45. Потім додайте -45 у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-90x+\left(-45\right)^{2}=-2800+\left(-45\right)^{2}$$

Піднесіть -45 до квадрата.

$$x^{2}-90x+2025=-2800+2025$$

Додайте -2800 до 2025.

$$x^{2}-90x+2025=-775$$

Розкладіть x^{2}-90x+2025 на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-45\right)^{2}=-775$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-45\right)^{2}}=\sqrt{-775}$$

Виконайте спрощення.

$$x-45=5\sqrt{31}i x-45=-5\sqrt{31}i$$

Додайте 45 до обох сторін цього рівняння.

$$x=45+5\sqrt{31}i x=-5\sqrt{31}i+45$$