Розв'яжіть (x-2)^2geq7

$$( x - 2 ) ^ { 2 } \geq 7$$

Знайти x

$$x\in (-\infty,2-\sqrt{7}]\cup [\sqrt{7}+2,\infty)$$

Покрокове розв’язання

Щоб розв’язати нерівність, розкладіть ліву частину на множники. Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$\left(x-2\right)^{2}=0$$

Усі рівняння вигляду ax^{2}+bx+c=0 можна вирішити за допомогою загальної формули для квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замініть у цій формулі 1 на a, -4 – на b, а -3 – на c.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 1\left(-3\right)}}{2}$$

Виконайте арифметичні операції.

$$x=\frac{4±2\sqrt{7}}{2}$$

Розв’яжіть рівняння x=\frac{4±2\sqrt{7}}{2} для випадку, коли замість ± використовується знак "плюс", і коли замість ± використовується знак "мінус".

$$x=\sqrt{7}+2 x=2-\sqrt{7}$$

Перепишіть нерівність за допомогою отриманих розв’язків.

$$\left(x-\left(\sqrt{7}+2\right)\right)\left(x-\left(2-\sqrt{7}\right)\right)\geq 0$$

Щоб добуток був ≥0, x-\left(\sqrt{7}+2\right) і x-\left(2-\sqrt{7}\right) мають одночасно бути або ≤0, або ≥0. Розглянемо випадок, коли x-\left(\sqrt{7}+2\right) і x-\left(2-\sqrt{7}\right) ≤0.

$$x-\left(\sqrt{7}+2\right)\leq 0 x-\left(2-\sqrt{7}\right)\leq 0$$

Обидві нерівності мають такий розв’язок: x\leq 2-\sqrt{7}.

$$x\leq 2-\sqrt{7}$$

Розглянемо випадок, коли x-\left(\sqrt{7}+2\right) і x-\left(2-\sqrt{7}\right) ≥0.

$$x-\left(2-\sqrt{7}\right)\geq 0 x-\left(\sqrt{7}+2\right)\geq 0$$

Обидві нерівності мають такий розв’язок: x\geq \sqrt{7}+2.

$$x\geq \sqrt{7}+2$$

Остаточний розв’язок – об’єднання отриманих розв’язків.

$$x\leq 2-\sqrt{7}\text{; }x\geq \sqrt{7}+2$$