Розв'яжіть (x+3)^2>4

$$( x + 3 ) ^ { 2 } > 4$$

Знайти x

$$x\in \left(-\infty,-5\right)\cup \left(-1,\infty\right)$$

Покрокове розв’язання

Щоб розв’язати нерівність, розкладіть ліву частину на множники. Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$\left(x+3\right)^{2}=0$$

Усі рівняння вигляду ax^{2}+bx+c=0 можна вирішити за допомогою загальної формули для квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замініть у цій формулі 1 на a, 6 – на b, а 5 – на c.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 1\times 5}}{2}$$

Виконайте арифметичні операції.

$$x=\frac{-6±4}{2}$$

Розв’яжіть рівняння x=\frac{-6±4}{2} для випадку, коли замість ± використовується знак "плюс", і коли замість ± використовується знак "мінус".

$$x=-1 x=-5$$

Перепишіть нерівність за допомогою отриманих розв’язків.

$$\left(x+1\right)\left(x+5\right)>0$$

Щоб добуток був додатний, x+1 і x+5 мають одночасно бути або додатними, або від’ємними. Розглянемо випадок, коли x+1 і x+5 від’ємні.

$$x+1<0 x+5<0$$

Обидві нерівності мають такий розв’язок: x<-5.

$$x<-5$$

Розглянемо випадок, коли x+1 і x+5 додатні.

$$x+5>0 x+1>0$$

Обидві нерівності мають такий розв’язок: x>-1.

$$x>-1$$

Остаточний розв’язок – об’єднання отриманих розв’язків.

$$x<-5\text{; }x>-1$$