Розв'яжіть (v+4)^2=2v^2+2v+9

$$( v + 4 ) ^ { 2 } = 2 v ^ { 2 } + 2 v + 9$$

Знайдіть v

$$v=-1$$

$$v=7$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(v+4\right)^{2}.

$$v^{2}+8v+16=2v^{2}+2v+9$$

Відніміть 2v^{2} з обох сторін.

$$v^{2}+8v+16-2v^{2}=2v+9$$

Додайте v^{2} до -2v^{2}, щоб отримати -v^{2}.

$$-v^{2}+8v+16=2v+9$$

Відніміть 2v з обох сторін.

$$-v^{2}+8v+16-2v=9$$

Додайте 8v до -2v, щоб отримати 6v.

$$-v^{2}+6v+16=9$$

Відніміть 9 з обох сторін.

$$-v^{2}+6v+16-9=0$$

Відніміть 9 від 16, щоб отримати 7.

$$-v^{2}+6v+7=0$$

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді -v^{2}+av+bv+7. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=6 ab=-7=-7$$

Оскільки ab від'ємне, a і b протилежному знаки. Оскільки значення a+b додатне, додатне число за модулем більше за від’ємне. Єдиною такою парою буде розв’язок системи рівнянь.

$$a=7 b=-1$$

Перепишіть -v^{2}+6v+7 як \left(-v^{2}+7v\right)+\left(-v+7\right).

$$\left(-v^{2}+7v\right)+\left(-v+7\right)$$

-v на першій та -1 в друге групу.

$$-v\left(v-7\right)-\left(v-7\right)$$

Винесіть за дужки спільний член v-7, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(v-7\right)\left(-v-1\right)$$

Щоб знайти рішення для формул, Розв'яжіть v-7=0 та -v-1=0.

$$v=7 v=-1$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(v+4\right)^{2}.

$$v^{2}+8v+16=2v^{2}+2v+9$$

Відніміть 2v^{2} з обох сторін.

$$v^{2}+8v+16-2v^{2}=2v+9$$

Додайте v^{2} до -2v^{2}, щоб отримати -v^{2}.

$$-v^{2}+8v+16=2v+9$$

Відніміть 2v з обох сторін.

$$-v^{2}+8v+16-2v=9$$

Додайте 8v до -2v, щоб отримати 6v.

$$-v^{2}+6v+16=9$$

Відніміть 9 з обох сторін.

$$-v^{2}+6v+16-9=0$$

Відніміть 9 від 16, щоб отримати 7.

$$-v^{2}+6v+7=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте -1 замість a, 6 замість b і 7 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$v=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\left(-1\right)\times 7}}{2\left(-1\right)}$$

Піднесіть 6 до квадрата.

$$v=\frac{-6±\sqrt{36-4\left(-1\right)\times 7}}{2\left(-1\right)}$$

Помножте -4 на -1.

$$v=\frac{-6±\sqrt{36+4\times 7}}{2\left(-1\right)}$$

Помножте 4 на 7.

$$v=\frac{-6±\sqrt{36+28}}{2\left(-1\right)}$$

Додайте 36 до 28.

$$v=\frac{-6±\sqrt{64}}{2\left(-1\right)}$$

Видобудьте квадратний корінь із 64.

$$v=\frac{-6±8}{2\left(-1\right)}$$

Помножте 2 на -1.

$$v=\frac{-6±8}{-2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння v=\frac{-6±8}{-2} за додатного значення ±. Додайте -6 до 8.

$$v=\frac{2}{-2}$$

Розділіть 2 на -2.

$$v=-1$$

Тепер розв’яжіть рівняння v=\frac{-6±8}{-2} за від’ємного значення ±. Відніміть 8 від -6.

$$v=-\frac{14}{-2}$$

Розділіть -14 на -2.

$$v=7$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$v=-1 v=7$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(v+4\right)^{2}.

$$v^{2}+8v+16=2v^{2}+2v+9$$

Відніміть 2v^{2} з обох сторін.

$$v^{2}+8v+16-2v^{2}=2v+9$$

Додайте v^{2} до -2v^{2}, щоб отримати -v^{2}.

$$-v^{2}+8v+16=2v+9$$

Відніміть 2v з обох сторін.

$$-v^{2}+8v+16-2v=9$$

Додайте 8v до -2v, щоб отримати 6v.

$$-v^{2}+6v+16=9$$

Відніміть 16 з обох сторін.

$$-v^{2}+6v=9-16$$

Відніміть 16 від 9, щоб отримати -7.

$$-v^{2}+6v=-7$$

Розділіть обидві сторони на -1.

$$\frac{-v^{2}+6v}{-1}=-\frac{7}{-1}$$

Ділення на -1 скасовує множення на -1.

$$v^{2}+\frac{6}{-1}v=-\frac{7}{-1}$$

Розділіть 6 на -1.

$$v^{2}-6v=-\frac{7}{-1}$$

Розділіть -7 на -1.

$$v^{2}-6v=7$$

Поділіть -6 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -3. Потім додайте -3 у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$v^{2}-6v+\left(-3\right)^{2}=7+\left(-3\right)^{2}$$

Піднесіть -3 до квадрата.

$$v^{2}-6v+9=7+9$$

Додайте 7 до 9.

$$v^{2}-6v+9=16$$

Розкладіть v^{2}-6v+9 на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(v-3\right)^{2}=16$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(v-3\right)^{2}}=\sqrt{16}$$

Виконайте спрощення.

$$v-3=4 v-3=-4$$

Додайте 3 до обох сторін цього рівняння.

$$v=7 v=-1$$