Розв'яжіть (m-4)^2-4(6-m)>0

$$( m - 4 ) ^ { 2 } - 4 ( 6 - m ) > 0$$

Знайти m

$$m\in \left(-\infty,2-2\sqrt{3}\right)\cup \left(2\sqrt{3}+2,\infty\right)$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(m-4\right)^{2}.

$$m^{2}-8m+16-4\left(6-m\right)>0$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити -4 на 6-m.

$$m^{2}-8m+16-24+4m>0$$

Відніміть 24 від 16, щоб отримати -8.

$$m^{2}-8m-8+4m>0$$

Додайте -8m до 4m, щоб отримати -4m.

$$m^{2}-4m-8>0$$

Щоб розв’язати нерівність, розкладіть ліву частину на множники. Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$m^{2}-4m-8=0$$

Усі рівняння вигляду ax^{2}+bx+c=0 можна вирішити за допомогою загальної формули для квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замініть у цій формулі 1 на a, -4 – на b, а -8 – на c.

$$m=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 1\left(-8\right)}}{2}$$

Виконайте арифметичні операції.

$$m=\frac{4±4\sqrt{3}}{2}$$

Розв’яжіть рівняння m=\frac{4±4\sqrt{3}}{2} для випадку, коли замість ± використовується знак "плюс", і коли замість ± використовується знак "мінус".

$$m=2\sqrt{3}+2 m=2-2\sqrt{3}$$

Перепишіть нерівність за допомогою отриманих розв’язків.

$$\left(m-\left(2\sqrt{3}+2\right)\right)\left(m-\left(2-2\sqrt{3}\right)\right)>0$$

Щоб добуток був додатний, m-\left(2\sqrt{3}+2\right) і m-\left(2-2\sqrt{3}\right) мають одночасно бути або додатними, або від’ємними. Розглянемо випадок, коли m-\left(2\sqrt{3}+2\right) і m-\left(2-2\sqrt{3}\right) від’ємні.

$$m-\left(2\sqrt{3}+2\right)<0 m-\left(2-2\sqrt{3}\right)<0$$

Обидві нерівності мають такий розв’язок: m<2-2\sqrt{3}.

$$m<2-2\sqrt{3}$$

Розглянемо випадок, коли m-\left(2\sqrt{3}+2\right) і m-\left(2-2\sqrt{3}\right) додатні.

$$m-\left(2-2\sqrt{3}\right)>0 m-\left(2\sqrt{3}+2\right)>0$$

Обидві нерівності мають такий розв’язок: m>2\sqrt{3}+2.

$$m>2\sqrt{3}+2$$

Остаточний розв’язок – об’єднання отриманих розв’язків.

$$m<2-2\sqrt{3}\text{; }m>2\sqrt{3}+2$$