Розв'яжіть (a-1)^2-4a^2>0

$$( a - 1 ) ^ { 2 } - 4 a ^ { 2 } > 0$$

Знайти a

$$a\in \left(-1,\frac{1}{3}\right)$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(a-1\right)^{2}.

$$a^{2}-2a+1-4a^{2}>0$$

Додайте a^{2} до -4a^{2}, щоб отримати -3a^{2}.

$$-3a^{2}-2a+1>0$$

Помножте нерівність на -1, щоб коефіцієнт при найвищому ступені в -3a^{2}-2a+1 був додатний. Оскільки -1 від'ємне, нерівність напрямок.

$$3a^{2}+2a-1<0$$

Щоб розв’язати нерівність, розкладіть ліву частину на множники. Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$3a^{2}+2a-1=0$$

Усі рівняння вигляду ax^{2}+bx+c=0 можна вирішити за допомогою загальної формули для квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замініть у цій формулі 3 на a, 2 – на b, а -1 – на c.

$$a=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Виконайте арифметичні операції.

$$a=\frac{-2±4}{6}$$

Розв’яжіть рівняння a=\frac{-2±4}{6} для випадку, коли замість ± використовується знак "плюс", і коли замість ± використовується знак "мінус".

$$a=\frac{1}{3} a=-1$$

Перепишіть нерівність за допомогою отриманих розв’язків.

$$3\left(a-\frac{1}{3}\right)\left(a+1\right)<0$$

Щоб добуток був від’ємний, a-\frac{1}{3} і a+1 мають бути протилежних знаків. Розглянемо випадок, коли a-\frac{1}{3} має додатне значення, а a+1 – від’ємне.

$$a-\frac{1}{3}>0 a+1<0$$

Це не виконується для жодного значення a.

$$a\in \emptyset$$

Розглянемо випадок, коли a+1 має додатне значення, а a-\frac{1}{3} – від’ємне.

$$a+1>0 a-\frac{1}{3}<0$$

Обидві нерівності мають такий розв’язок: a\in \left(-1,\frac{1}{3}\right).

$$a\in \left(-1,\frac{1}{3}\right)$$

Остаточний розв’язок – об’єднання отриманих розв’язків.

$$a\in \left(-1,\frac{1}{3}\right)$$