Розв'яжіть (9-5x)^2+2(9-5x)^2-24<0

$$( 9 - 5 x ) ^ { 2 } + 2 ( 9 - 5 x ) ^ { 2 } - 24 < 0$$

Знайти x

$$x\in \left(\frac{9-2\sqrt{2}}{5},\frac{2\sqrt{2}+9}{5}\right)$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(9-5x\right)^{2}.

$$81-90x+25x^{2}+2\left(9-5x\right)^{2}-24<0$$

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(9-5x\right)^{2}.

$$81-90x+25x^{2}+2\left(81-90x+25x^{2}\right)-24<0$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 2 на 81-90x+25x^{2}.

$$81-90x+25x^{2}+162-180x+50x^{2}-24<0$$

Додайте 81 до 162, щоб обчислити 243.

$$243-90x+25x^{2}-180x+50x^{2}-24<0$$

Додайте -90x до -180x, щоб отримати -270x.

$$243-270x+25x^{2}+50x^{2}-24<0$$

Додайте 25x^{2} до 50x^{2}, щоб отримати 75x^{2}.

$$243-270x+75x^{2}-24<0$$

Відніміть 24 від 243, щоб отримати 219.

$$219-270x+75x^{2}<0$$

Щоб розв’язати нерівність, розкладіть ліву частину на множники. Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$219-270x+75x^{2}=0$$

Усі рівняння вигляду ax^{2}+bx+c=0 можна вирішити за допомогою загальної формули для квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замініть у цій формулі 75 на a, -270 – на b, а 219 – на c.

$$x=\frac{-\left(-270\right)±\sqrt{\left(-270\right)^{2}-4\times 75\times 219}}{2\times 75}$$

Виконайте арифметичні операції.

$$x=\frac{270±60\sqrt{2}}{150}$$

Розв’яжіть рівняння x=\frac{270±60\sqrt{2}}{150} для випадку, коли замість ± використовується знак "плюс", і коли замість ± використовується знак "мінус".

$$x=\frac{2\sqrt{2}+9}{5} x=\frac{9-2\sqrt{2}}{5}$$

Перепишіть нерівність за допомогою отриманих розв’язків.

$$75\left(x-\frac{2\sqrt{2}+9}{5}\right)\left(x-\frac{9-2\sqrt{2}}{5}\right)<0$$

Щоб добуток був від’ємний, x-\frac{2\sqrt{2}+9}{5} і x-\frac{9-2\sqrt{2}}{5} мають бути протилежних знаків. Розглянемо випадок, коли x-\frac{2\sqrt{2}+9}{5} має додатне значення, а x-\frac{9-2\sqrt{2}}{5} – від’ємне.

$$x-\frac{2\sqrt{2}+9}{5}>0 x-\frac{9-2\sqrt{2}}{5}<0$$

Це не виконується для жодного значення x.

$$x\in \emptyset$$

Розглянемо випадок, коли x-\frac{9-2\sqrt{2}}{5} має додатне значення, а x-\frac{2\sqrt{2}+9}{5} – від’ємне.

$$x-\frac{9-2\sqrt{2}}{5}>0 x-\frac{2\sqrt{2}+9}{5}<0$$

Обидві нерівності мають такий розв’язок: x\in \left(\frac{9-2\sqrt{2}}{5},\frac{2\sqrt{2}+9}{5}\right).

$$x\in \left(\frac{9-2\sqrt{2}}{5},\frac{2\sqrt{2}+9}{5}\right)$$

Остаточний розв’язок – об’єднання отриманих розв’язків.

$$x\in \left(\frac{9-2\sqrt{2}}{5},\frac{2\sqrt{2}+9}{5}\right)$$