Розв'яжіть (6-2sqrt{x})^2+6^2=8x

$$( 6 - 2 \sqrt { x } ) ^ { 2 } + 6 ^ { 2 } = 8 x$$

Знайдіть x

$$x=36-18\sqrt{3}\approx 4,823085464$$

Покрокове розв’язання

Обчисліть 6 у степені 2 і отримайте 36.

$$\left(6-2\sqrt{x}\right)^{2}+36=8x$$

Відніміть 8x з обох сторін.

$$\left(6-2\sqrt{x}\right)^{2}+36-8x=0$$

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(6-2\sqrt{x}\right)^{2}.

$$36-24\sqrt{x}+4\left(\sqrt{x}\right)^{2}+36-8x=0$$

Обчисліть \sqrt{x} у степені 2 і отримайте x.

$$36-24\sqrt{x}+4x+36-8x=0$$

Додайте 36 до 36, щоб обчислити 72.

$$72-24\sqrt{x}+4x-8x=0$$

Додайте 4x до -8x, щоб отримати -4x.

$$72-24\sqrt{x}-4x=0$$

Відніміть 72 з обох сторін. Якщо відняти будь-яке число від нуля, ви отримаєте його протилежне за знаком число.

$$-24\sqrt{x}-4x=-72$$

Відніміть -4x від обох сторін цього рівняння.

$$-24\sqrt{x}=-72+4x$$

Піднесіть до квадрата обидві сторони рівняння.

$$\left(-24\sqrt{x}\right)^{2}=\left(4x-72\right)^{2}$$

Розкладіть \left(-24\sqrt{x}\right)^{2}

$$\left(-24\right)^{2}\left(\sqrt{x}\right)^{2}=\left(4x-72\right)^{2}$$

Обчисліть -24 у степені 2 і отримайте 576.

$$576\left(\sqrt{x}\right)^{2}=\left(4x-72\right)^{2}$$

Обчисліть \sqrt{x} у степені 2 і отримайте x.

$$576x=\left(4x-72\right)^{2}$$

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(4x-72\right)^{2}.

$$576x=16x^{2}-576x+5184$$

Відніміть 16x^{2} з обох сторін.

$$576x-16x^{2}=-576x+5184$$

Додайте 576x до обох сторін.

$$576x-16x^{2}+576x=5184$$

Додайте 576x до 576x, щоб отримати 1152x.

$$1152x-16x^{2}=5184$$

Відніміть 5184 з обох сторін.

$$1152x-16x^{2}-5184=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$-16x^{2}+1152x-5184=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте -16 замість a, 1152 замість b і -5184 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1152±\sqrt{1152^{2}-4\left(-16\right)\left(-5184\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Піднесіть 1152 до квадрата.

$$x=\frac{-1152±\sqrt{1327104-4\left(-16\right)\left(-5184\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Помножте -4 на -16.

$$x=\frac{-1152±\sqrt{1327104+64\left(-5184\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Помножте 64 на -5184.

$$x=\frac{-1152±\sqrt{1327104-331776}}{2\left(-16\right)}$$

Додайте 1327104 до -331776.

$$x=\frac{-1152±\sqrt{995328}}{2\left(-16\right)}$$

Видобудьте квадратний корінь із 995328.

$$x=\frac{-1152±576\sqrt{3}}{2\left(-16\right)}$$

Помножте 2 на -16.

$$x=\frac{-1152±576\sqrt{3}}{-32}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-1152±576\sqrt{3}}{-32} за додатного значення ±. Додайте -1152 до 576\sqrt{3}.

$$x=\frac{576\sqrt{3}-1152}{-32}$$

Розділіть -1152+576\sqrt{3} на -32.

$$x=36-18\sqrt{3}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-1152±576\sqrt{3}}{-32} за від’ємного значення ±. Відніміть 576\sqrt{3} від -1152.

$$x=\frac{-576\sqrt{3}-1152}{-32}$$

Розділіть -1152-576\sqrt{3} на -32.

$$x=18\sqrt{3}+36$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=36-18\sqrt{3} x=18\sqrt{3}+36$$

Підставте 36-18\sqrt{3} замість x в іншому рівнянні: \left(6-2\sqrt{x}\right)^{2}+6^{2}=8x.

$$\left(6-2\sqrt{36-18\sqrt{3}}\right)^{2}+6^{2}=8\left(36-18\sqrt{3}\right)$$

Спростіть. Значення x=36-18\sqrt{3} задовольняє рівнянню.

$$288-144\times 3^{\frac{1}{2}}=288-144\times 3^{\frac{1}{2}}$$

Підставте 18\sqrt{3}+36 замість x в іншому рівнянні: \left(6-2\sqrt{x}\right)^{2}+6^{2}=8x.

$$\left(6-2\sqrt{18\sqrt{3}+36}\right)^{2}+6^{2}=8\left(18\sqrt{3}+36\right)$$

Спростіть. Значення x=18\sqrt{3}+36 не відповідає рівняння.

$$144=144\times 3^{\frac{1}{2}}+288$$

Рівняння -24\sqrt{x}=4x-72 має один розв’язок.

$$x=36-18\sqrt{3}$$