Розв'яжіть (4x-1)^2=(x-1)(x+1)

$$( 4 x - 1 ) ^ { 2 } = ( x - 1 ) ( x + 1 )$$

Знайдіть x (complex solution)

$$x=\frac{4+\sqrt{14}i}{15}\approx 0,266666667+0,249443826i$$

$$x=\frac{-\sqrt{14}i+4}{15}\approx 0,266666667-0,249443826i$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(4x-1\right)^{2}.

$$16x^{2}-8x+1=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Розглянемо \left(x-1\right)\left(x+1\right). Множення можна виконати за правилом різниці квадратів: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Піднесіть 1 до квадрата.

$$16x^{2}-8x+1=x^{2}-1$$

Відніміть x^{2} з обох сторін.

$$16x^{2}-8x+1-x^{2}=-1$$

Додайте 16x^{2} до -x^{2}, щоб отримати 15x^{2}.

$$15x^{2}-8x+1=-1$$

Додайте 1 до обох сторін.

$$15x^{2}-8x+1+1=0$$

Додайте 1 до 1, щоб обчислити 2.

$$15x^{2}-8x+2=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 15 замість a, -8 замість b і 2 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 15\times 2}}{2\times 15}$$

Піднесіть -8 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 15\times 2}}{2\times 15}$$

Помножте -4 на 15.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-60\times 2}}{2\times 15}$$

Помножте -60 на 2.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-120}}{2\times 15}$$

Додайте 64 до -120.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{-56}}{2\times 15}$$

Видобудьте квадратний корінь із -56.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±2\sqrt{14}i}{2\times 15}$$

Число, протилежне до -8, дорівнює 8.

$$x=\frac{8±2\sqrt{14}i}{2\times 15}$$

Помножте 2 на 15.

$$x=\frac{8±2\sqrt{14}i}{30}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{8±2\sqrt{14}i}{30} за додатного значення ±. Додайте 8 до 2i\sqrt{14}.

$$x=\frac{8+2\sqrt{14}i}{30}$$

Розділіть 8+2i\sqrt{14} на 30.

$$x=\frac{4+\sqrt{14}i}{15}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{8±2\sqrt{14}i}{30} за від’ємного значення ±. Відніміть 2i\sqrt{14} від 8.

$$x=\frac{-2\sqrt{14}i+8}{30}$$

Розділіть 8-2i\sqrt{14} на 30.

$$x=\frac{-\sqrt{14}i+4}{15}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{4+\sqrt{14}i}{15} x=\frac{-\sqrt{14}i+4}{15}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(4x-1\right)^{2}.

$$16x^{2}-8x+1=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Розглянемо \left(x-1\right)\left(x+1\right). Множення можна виконати за правилом різниці квадратів: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Піднесіть 1 до квадрата.

$$16x^{2}-8x+1=x^{2}-1$$

Відніміть x^{2} з обох сторін.

$$16x^{2}-8x+1-x^{2}=-1$$

Додайте 16x^{2} до -x^{2}, щоб отримати 15x^{2}.

$$15x^{2}-8x+1=-1$$

Відніміть 1 з обох сторін.

$$15x^{2}-8x=-1-1$$

Відніміть 1 від -1, щоб отримати -2.

$$15x^{2}-8x=-2$$

Розділіть обидві сторони на 15.

$$\frac{15x^{2}-8x}{15}=-\frac{2}{15}$$

Ділення на 15 скасовує множення на 15.

$$x^{2}-\frac{8}{15}x=-\frac{2}{15}$$

Поділіть -\frac{8}{15} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{4}{15}. Потім додайте -\frac{4}{15} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-\frac{8}{15}x+\left(-\frac{4}{15}\right)^{2}=-\frac{2}{15}+\left(-\frac{4}{15}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{4}{15} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-\frac{8}{15}x+\frac{16}{225}=-\frac{2}{15}+\frac{16}{225}$$

Щоб додати -\frac{2}{15} до \frac{16}{225}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{8}{15}x+\frac{16}{225}=-\frac{14}{225}$$

Розкладіть x^{2}-\frac{8}{15}x+\frac{16}{225} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{4}{15}\right)^{2}=-\frac{14}{225}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{15}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{14}{225}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{4}{15}=\frac{\sqrt{14}i}{15} x-\frac{4}{15}=-\frac{\sqrt{14}i}{15}$$

Додайте \frac{4}{15} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{4+\sqrt{14}i}{15} x=\frac{-\sqrt{14}i+4}{15}$$