Розв'яжіть (4-k)(k-5)=-42

$$( 4 - k ) ( k - 5 ) = - 42$$

Знайдіть k

$$k=-2$$

$$k=11$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 4-k на k-5 і звести подібні члени.

$$9k-20-k^{2}=-42$$

Додайте 42 до обох сторін.

$$9k-20-k^{2}+42=0$$

Додайте -20 до 42, щоб обчислити 22.

$$9k+22-k^{2}=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$-k^{2}+9k+22=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте -1 замість a, 9 замість b і 22 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$k=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\left(-1\right)\times 22}}{2\left(-1\right)}$$

Піднесіть 9 до квадрата.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-4\left(-1\right)\times 22}}{2\left(-1\right)}$$

Помножте -4 на -1.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81+4\times 22}}{2\left(-1\right)}$$

Помножте 4 на 22.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81+88}}{2\left(-1\right)}$$

Додайте 81 до 88.

$$k=\frac{-9±\sqrt{169}}{2\left(-1\right)}$$

Видобудьте квадратний корінь із 169.

$$k=\frac{-9±13}{2\left(-1\right)}$$

Помножте 2 на -1.

$$k=\frac{-9±13}{-2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння k=\frac{-9±13}{-2} за додатного значення ±. Додайте -9 до 13.

$$k=\frac{4}{-2}$$

Розділіть 4 на -2.

$$k=-2$$

Тепер розв’яжіть рівняння k=\frac{-9±13}{-2} за від’ємного значення ±. Відніміть 13 від -9.

$$k=-\frac{22}{-2}$$

Розділіть -22 на -2.

$$k=11$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$k=-2 k=11$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 4-k на k-5 і звести подібні члени.

$$9k-20-k^{2}=-42$$

Додайте 20 до обох сторін.

$$9k-k^{2}=-42+20$$

Додайте -42 до 20, щоб обчислити -22.

$$9k-k^{2}=-22$$

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$-k^{2}+9k=-22$$

Розділіть обидві сторони на -1.

$$\frac{-k^{2}+9k}{-1}=-\frac{22}{-1}$$

Ділення на -1 скасовує множення на -1.

$$k^{2}+\frac{9}{-1}k=-\frac{22}{-1}$$

Розділіть 9 на -1.

$$k^{2}-9k=-\frac{22}{-1}$$

Розділіть -22 на -1.

$$k^{2}-9k=22$$

Поділіть -9 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{9}{2}. Потім додайте -\frac{9}{2} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$k^{2}-9k+\left(-\frac{9}{2}\right)^{2}=22+\left(-\frac{9}{2}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{9}{2} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$k^{2}-9k+\frac{81}{4}=22+\frac{81}{4}$$

Додайте 22 до \frac{81}{4}.

$$k^{2}-9k+\frac{81}{4}=\frac{169}{4}$$

Розкладіть k^{2}-9k+\frac{81}{4} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(k-\frac{9}{2}\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(k-\frac{9}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

Виконайте спрощення.

$$k-\frac{9}{2}=\frac{13}{2} k-\frac{9}{2}=-\frac{13}{2}$$

Додайте \frac{9}{2} до обох сторін цього рівняння.

$$k=11 k=-2$$