Розв'яжіть (4sqrt{3}+frac{xsqrt{3}}{2})^2+x^2/4=156

$$( 4 \sqrt { 3 } + \frac { x \sqrt { 3 } } { 2 } ) ^ { 2 } + \frac { x ^ { 2 } } { 4 } = 156$$

Знайдіть x

$$x=-18$$

$$x=6$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Помножте обидві сторони цього рівняння на 4.

$$4\left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}+x^{2}=624$$

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}.

$$4\left(16\left(\sqrt{3}\right)^{2}+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Квадрат \sqrt{3} дорівнює 3.

$$4\left(16\times 3+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Помножте 16 на 3, щоб отримати 48.

$$4\left(48+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Відкиньте 2, тобто найбільший спільний дільник для 8 й 2.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Щоб піднести \frac{x\sqrt{3}}{2} до якогось степеня, піднесіть до цього степеня чисельник і знаменник, а потім поділіть перший на другий.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

Щоб додавати або віднімати вирази, розкрийте дужки та приведіть їх до спільного знаменника. Помножте 48 на \frac{2^{2}}{2^{2}}.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

Оскільки \frac{48\times 2^{2}}{2^{2}} та \frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}} мають однакову знаменник, додайте їх чисельників.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}\right)+x^{2}=624$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 4 на \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}.

$$4\times \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Обчисліть 2 у степені 2 і отримайте 4.

$$4\times \frac{48\times 4+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Помножте 48 на 4, щоб отримати 192.

$$4\times \frac{192+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Розкладіть \left(x\sqrt{3}\right)^{2}

$$4\times \frac{192+x^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Квадрат \sqrt{3} дорівнює 3.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Обчисліть 2 у степені 2 і отримайте 4.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Виразіть 4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4} як єдиний дріб.

$$\frac{4\left(192+x^{2}\times 3\right)}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Відкиньте 4 і 4.

$$192+x^{2}\times 3+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Квадрат \sqrt{3} дорівнює 3.

$$192+x^{2}\times 3+16\times 3x+x^{2}=624$$

Помножте 16 на 3, щоб отримати 48.

$$192+x^{2}\times 3+48x+x^{2}=624$$

Додайте x^{2}\times 3 до x^{2}, щоб отримати 4x^{2}.

$$192+4x^{2}+48x=624$$

Відніміть 624 з обох сторін.

$$192+4x^{2}+48x-624=0$$

Відніміть 624 від 192, щоб отримати -432.

$$-432+4x^{2}+48x=0$$

Розділіть обидві сторони на 4.

$$-108+x^{2}+12x=0$$

Упорядкуйте многочлен, щоб привести його до стандартного вигляду. Розташуйте доданки в порядку від найвищого степеня до найнижчого.

$$x^{2}+12x-108=0$$

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді x^{2}+ax+bx-108. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=12 ab=1\left(-108\right)=-108$$

Оскільки ab від'ємне, a і b протилежному знаки. Оскільки значення a+b додатне, додатне число за модулем більше за від’ємне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -108.

$$-1,108 -2,54 -3,36 -4,27 -6,18 -9,12$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$-1+108=107 -2+54=52 -3+36=33 -4+27=23 -6+18=12 -9+12=3$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює 12.

$$a=-6 b=18$$

Перепишіть x^{2}+12x-108 як \left(x^{2}-6x\right)+\left(18x-108\right).

$$\left(x^{2}-6x\right)+\left(18x-108\right)$$

x на першій та 18 в друге групу.

$$x\left(x-6\right)+18\left(x-6\right)$$

Винесіть за дужки спільний член x-6, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(x-6\right)\left(x+18\right)$$

Щоб знайти рішення для формул, Розв'яжіть x-6=0 та x+18=0.

$$x=6 x=-18$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Помножте обидві сторони цього рівняння на 4.

$$4\left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}+x^{2}=624$$

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}.

$$4\left(16\left(\sqrt{3}\right)^{2}+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Квадрат \sqrt{3} дорівнює 3.

$$4\left(16\times 3+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Помножте 16 на 3, щоб отримати 48.

$$4\left(48+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Відкиньте 2, тобто найбільший спільний дільник для 8 й 2.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Щоб піднести \frac{x\sqrt{3}}{2} до якогось степеня, піднесіть до цього степеня чисельник і знаменник, а потім поділіть перший на другий.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

Щоб додавати або віднімати вирази, розкрийте дужки та приведіть їх до спільного знаменника. Помножте 48 на \frac{2^{2}}{2^{2}}.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

Оскільки \frac{48\times 2^{2}}{2^{2}} та \frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}} мають однакову знаменник, додайте їх чисельників.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}\right)+x^{2}=624$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 4 на \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}.

$$4\times \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Обчисліть 2 у степені 2 і отримайте 4.

$$4\times \frac{48\times 4+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Помножте 48 на 4, щоб отримати 192.

$$4\times \frac{192+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Розкладіть \left(x\sqrt{3}\right)^{2}

$$4\times \frac{192+x^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Квадрат \sqrt{3} дорівнює 3.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Обчисліть 2 у степені 2 і отримайте 4.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Виразіть 4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4} як єдиний дріб.

$$\frac{4\left(192+x^{2}\times 3\right)}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Відкиньте 4 і 4.

$$192+x^{2}\times 3+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Квадрат \sqrt{3} дорівнює 3.

$$192+x^{2}\times 3+16\times 3x+x^{2}=624$$

Помножте 16 на 3, щоб отримати 48.

$$192+x^{2}\times 3+48x+x^{2}=624$$

Додайте x^{2}\times 3 до x^{2}, щоб отримати 4x^{2}.

$$192+4x^{2}+48x=624$$

Відніміть 624 з обох сторін.

$$192+4x^{2}+48x-624=0$$

Відніміть 624 від 192, щоб отримати -432.

$$-432+4x^{2}+48x=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$4x^{2}+48x-432=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 4 замість a, 48 замість b і -432 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-48±\sqrt{48^{2}-4\times 4\left(-432\right)}}{2\times 4}$$

Піднесіть 48 до квадрата.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-4\times 4\left(-432\right)}}{2\times 4}$$

Помножте -4 на 4.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-16\left(-432\right)}}{2\times 4}$$

Помножте -16 на -432.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304+6912}}{2\times 4}$$

Додайте 2304 до 6912.

$$x=\frac{-48±\sqrt{9216}}{2\times 4}$$

Видобудьте квадратний корінь із 9216.

$$x=\frac{-48±96}{2\times 4}$$

Помножте 2 на 4.

$$x=\frac{-48±96}{8}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-48±96}{8} за додатного значення ±. Додайте -48 до 96.

$$x=\frac{48}{8}$$

Розділіть 48 на 8.

$$x=6$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-48±96}{8} за від’ємного значення ±. Відніміть 96 від -48.

$$x=-\frac{144}{8}$$

Розділіть -144 на 8.

$$x=-18$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=6 x=-18$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Помножте обидві сторони цього рівняння на 4.

$$4\left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}+x^{2}=624$$

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}.

$$4\left(16\left(\sqrt{3}\right)^{2}+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Квадрат \sqrt{3} дорівнює 3.

$$4\left(16\times 3+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Помножте 16 на 3, щоб отримати 48.

$$4\left(48+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Відкиньте 2, тобто найбільший спільний дільник для 8 й 2.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Щоб піднести \frac{x\sqrt{3}}{2} до якогось степеня, піднесіть до цього степеня чисельник і знаменник, а потім поділіть перший на другий.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

Щоб додавати або віднімати вирази, розкрийте дужки та приведіть їх до спільного знаменника. Помножте 48 на \frac{2^{2}}{2^{2}}.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

Оскільки \frac{48\times 2^{2}}{2^{2}} та \frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}} мають однакову знаменник, додайте їх чисельників.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}\right)+x^{2}=624$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 4 на \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}.

$$4\times \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Обчисліть 2 у степені 2 і отримайте 4.

$$4\times \frac{48\times 4+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Помножте 48 на 4, щоб отримати 192.

$$4\times \frac{192+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Розкладіть \left(x\sqrt{3}\right)^{2}

$$4\times \frac{192+x^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Квадрат \sqrt{3} дорівнює 3.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Обчисліть 2 у степені 2 і отримайте 4.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Виразіть 4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4} як єдиний дріб.

$$\frac{4\left(192+x^{2}\times 3\right)}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Відкиньте 4 і 4.

$$192+x^{2}\times 3+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Квадрат \sqrt{3} дорівнює 3.

$$192+x^{2}\times 3+16\times 3x+x^{2}=624$$

Помножте 16 на 3, щоб отримати 48.

$$192+x^{2}\times 3+48x+x^{2}=624$$

Додайте x^{2}\times 3 до x^{2}, щоб отримати 4x^{2}.

$$192+4x^{2}+48x=624$$

Відніміть 192 з обох сторін.

$$4x^{2}+48x=624-192$$

Відніміть 192 від 624, щоб отримати 432.

$$4x^{2}+48x=432$$

Розділіть обидві сторони на 4.

$$\frac{4x^{2}+48x}{4}=\frac{432}{4}$$

Ділення на 4 скасовує множення на 4.

$$x^{2}+\frac{48}{4}x=\frac{432}{4}$$

Розділіть 48 на 4.

$$x^{2}+12x=\frac{432}{4}$$

Розділіть 432 на 4.

$$x^{2}+12x=108$$

Поділіть 12 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати 6. Потім додайте 6 у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}+12x+6^{2}=108+6^{2}$$

Піднесіть 6 до квадрата.

$$x^{2}+12x+36=108+36$$

Додайте 108 до 36.

$$x^{2}+12x+36=144$$

Розкладіть x^{2}+12x+36 на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+6\right)^{2}=144$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x+6\right)^{2}}=\sqrt{144}$$

Виконайте спрощення.

$$x+6=12 x+6=-12$$

Відніміть 6 від обох сторін цього рівняння.

$$x=6 x=-18$$