Розв'яжіть (3x-5)(x+2)leqx^2

$$( 3 x - 5 ) ( x + 2 ) \leq x ^ { 2 }$$

Знайти x

$$x\in \begin{bmatrix}-\frac{5}{2},2\end{bmatrix}$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 3x-5 на x+2 і звести подібні члени.

$$3x^{2}+x-10\leq x^{2}$$

Відніміть x^{2} з обох сторін.

$$3x^{2}+x-10-x^{2}\leq 0$$

Додайте 3x^{2} до -x^{2}, щоб отримати 2x^{2}.

$$2x^{2}+x-10\leq 0$$

Щоб розв’язати нерівність, розкладіть ліву частину на множники. Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$2x^{2}+x-10=0$$

Усі рівняння вигляду ax^{2}+bx+c=0 можна вирішити за допомогою загальної формули для квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замініть у цій формулі 2 на a, 1 – на b, а -10 – на c.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 2\left(-10\right)}}{2\times 2}$$

Виконайте арифметичні операції.

$$x=\frac{-1±9}{4}$$

Розв’яжіть рівняння x=\frac{-1±9}{4} для випадку, коли замість ± використовується знак "плюс", і коли замість ± використовується знак "мінус".

$$x=2 x=-\frac{5}{2}$$

Перепишіть нерівність за допомогою отриманих розв’язків.

$$2\left(x-2\right)\left(x+\frac{5}{2}\right)\leq 0$$

Щоб добуток був ≤0, одне зі значень x-2 і x+\frac{5}{2} має бути ≥0, а інше – ≤0. Розглянемо випадок, коли x-2\geq 0 і x+\frac{5}{2}\leq 0.

$$x-2\geq 0 x+\frac{5}{2}\leq 0$$

Це не виконується для жодного значення x.

$$x\in \emptyset$$

Розглянемо випадок, коли x-2\leq 0 і x+\frac{5}{2}\geq 0.

$$x+\frac{5}{2}\geq 0 x-2\leq 0$$

Обидві нерівності мають такий розв’язок: x\in \left[-\frac{5}{2},2\right].

$$x\in \begin{bmatrix}-\frac{5}{2},2\end{bmatrix}$$

Остаточний розв’язок – об’єднання отриманих розв’язків.

$$x\in \begin{bmatrix}-\frac{5}{2},2\end{bmatrix}$$