Розв'яжіть (3x-1)(3x+1)-(5x-4)(2x+3)=3

$$( 3 x - 1 ) ( 3 x + 1 ) - ( 5 x - 4 ) ( 2 x + 3 ) = 3$$

Знайдіть x

$$x=-8$$

$$x=1$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Розглянемо \left(3x-1\right)\left(3x+1\right). Множення можна виконати за правилом різниці квадратів: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Піднесіть 1 до квадрата.

$$\left(3x\right)^{2}-1-\left(5x-4\right)\left(2x+3\right)=3$$

Розкладіть \left(3x\right)^{2}

$$3^{2}x^{2}-1-\left(5x-4\right)\left(2x+3\right)=3$$

Обчисліть 3 у степені 2 і отримайте 9.

$$9x^{2}-1-\left(5x-4\right)\left(2x+3\right)=3$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 5x-4 на 2x+3 і звести подібні члени.

$$9x^{2}-1-\left(10x^{2}+7x-12\right)=3$$

Щоб знайти протилежне виразу 10x^{2}+7x-12, знайдіть протилежне значення для кожного члена.

$$9x^{2}-1-10x^{2}-7x+12=3$$

Додайте 9x^{2} до -10x^{2}, щоб отримати -x^{2}.

$$-x^{2}-1-7x+12=3$$

Додайте -1 до 12, щоб обчислити 11.

$$-x^{2}+11-7x=3$$

Відніміть 3 з обох сторін.

$$-x^{2}+11-7x-3=0$$

Відніміть 3 від 11, щоб отримати 8.

$$-x^{2}+8-7x=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$-x^{2}-7x+8=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте -1 замість a, -7 замість b і 8 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\left(-1\right)\times 8}}{2\left(-1\right)}$$

Піднесіть -7 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\left(-1\right)\times 8}}{2\left(-1\right)}$$

Помножте -4 на -1.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+4\times 8}}{2\left(-1\right)}$$

Помножте 4 на 8.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+32}}{2\left(-1\right)}$$

Додайте 49 до 32.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{81}}{2\left(-1\right)}$$

Видобудьте квадратний корінь із 81.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±9}{2\left(-1\right)}$$

Число, протилежне до -7, дорівнює 7.

$$x=\frac{7±9}{2\left(-1\right)}$$

Помножте 2 на -1.

$$x=\frac{7±9}{-2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{7±9}{-2} за додатного значення ±. Додайте 7 до 9.

$$x=\frac{16}{-2}$$

Розділіть 16 на -2.

$$x=-8$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{7±9}{-2} за від’ємного значення ±. Відніміть 9 від 7.

$$x=-\frac{2}{-2}$$

Розділіть -2 на -2.

$$x=1$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=-8 x=1$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Розглянемо \left(3x-1\right)\left(3x+1\right). Множення можна виконати за правилом різниці квадратів: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Піднесіть 1 до квадрата.

$$\left(3x\right)^{2}-1-\left(5x-4\right)\left(2x+3\right)=3$$

Розкладіть \left(3x\right)^{2}

$$3^{2}x^{2}-1-\left(5x-4\right)\left(2x+3\right)=3$$

Обчисліть 3 у степені 2 і отримайте 9.

$$9x^{2}-1-\left(5x-4\right)\left(2x+3\right)=3$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 5x-4 на 2x+3 і звести подібні члени.

$$9x^{2}-1-\left(10x^{2}+7x-12\right)=3$$

Щоб знайти протилежне виразу 10x^{2}+7x-12, знайдіть протилежне значення для кожного члена.

$$9x^{2}-1-10x^{2}-7x+12=3$$

Додайте 9x^{2} до -10x^{2}, щоб отримати -x^{2}.

$$-x^{2}-1-7x+12=3$$

Додайте -1 до 12, щоб обчислити 11.

$$-x^{2}+11-7x=3$$

Відніміть 11 з обох сторін.

$$-x^{2}-7x=3-11$$

Відніміть 11 від 3, щоб отримати -8.

$$-x^{2}-7x=-8$$

Розділіть обидві сторони на -1.

$$\frac{-x^{2}-7x}{-1}=-\frac{8}{-1}$$

Ділення на -1 скасовує множення на -1.

$$x^{2}+\left(-\frac{7}{-1}\right)x=-\frac{8}{-1}$$

Розділіть -7 на -1.

$$x^{2}+7x=-\frac{8}{-1}$$

Розділіть -8 на -1.

$$x^{2}+7x=8$$

Поділіть 7 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати \frac{7}{2}. Потім додайте \frac{7}{2} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}+7x+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}=8+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Щоб піднести \frac{7}{2} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}+7x+\frac{49}{4}=8+\frac{49}{4}$$

Додайте 8 до \frac{49}{4}.

$$x^{2}+7x+\frac{49}{4}=\frac{81}{4}$$

Розкладіть x^{2}+7x+\frac{49}{4} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{81}{4}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{4}}$$

Виконайте спрощення.

$$x+\frac{7}{2}=\frac{9}{2} x+\frac{7}{2}=-\frac{9}{2}$$

Відніміть \frac{7}{2} від обох сторін цього рівняння.

$$x=1 x=-8$$