Розв'яжіть (3+7x-5/x^2-x-2-3x/x+1):4/x-2+5/x+3=frac{9x^2+43x+8}{4(x^2+4x+3)}

$$( 3 + \frac { 7 x - 5 } { x ^ { 2 } - x - 2 } - \frac { 3 x } { x + 1 } ) : \frac { 4 } { x - 2 } + \frac { 5 } { x + 3 } = \frac { 9 x ^ { 2 } + 43 x + 8 } { 4 ( x ^ { 2 } + 4 x + 3 ) }$$

Знайдіть x

$$x=7$$

Покрокове розв’язання

Змінна x не може дорівнювати жодному зі значень -3,-1, тому що ділення на нуль не визначено. Помножте обидві сторони цього рівняння на 4\left(x+1\right)\left(x+3\right) (найменше спільне кратне для x+3,4\left(x^{2}+4x+3\right)).

$$\left(x+1\right)\left(x+3\right)\left(x-2\right)\left(3+\frac{7x-5}{x^{2}-x-2}-\frac{3x}{x+1}\right)+\left(4x+4\right)\times 5=9x^{2}+43x+8$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити x+1 на x+3 і звести подібні члени.

$$\left(x^{2}+4x+3\right)\left(x-2\right)\left(3+\frac{7x-5}{x^{2}-x-2}-\frac{3x}{x+1}\right)+\left(4x+4\right)\times 5=9x^{2}+43x+8$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити x^{2}+4x+3 на x-2 і звести подібні члени.

$$\left(x^{3}+2x^{2}-5x-6\right)\left(3+\frac{7x-5}{x^{2}-x-2}-\frac{3x}{x+1}\right)+\left(4x+4\right)\times 5=9x^{2}+43x+8$$

Розкладіть x^{2}-x-2 на множники.

$$\left(x^{3}+2x^{2}-5x-6\right)\left(3+\frac{7x-5}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}-\frac{3x}{x+1}\right)+\left(4x+4\right)\times 5=9x^{2}+43x+8$$

Щоб додавати або віднімати вирази, розкрийте дужки та приведіть їх до спільного знаменника. Помножте 3 на \frac{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}.

$$\left(x^{3}+2x^{2}-5x-6\right)\left(\frac{3\left(x-2\right)\left(x+1\right)}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}+\frac{7x-5}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}-\frac{3x}{x+1}\right)+\left(4x+4\right)\times 5=9x^{2}+43x+8$$

Оскільки \frac{3\left(x-2\right)\left(x+1\right)}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)} та \frac{7x-5}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)} мають однакову знаменник, додайте їх чисельників.

$$\left(x^{3}+2x^{2}-5x-6\right)\left(\frac{3\left(x-2\right)\left(x+1\right)+7x-5}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}-\frac{3x}{x+1}\right)+\left(4x+4\right)\times 5=9x^{2}+43x+8$$

Виконайте множення у виразі 3\left(x-2\right)\left(x+1\right)+7x-5.

$$\left(x^{3}+2x^{2}-5x-6\right)\left(\frac{3x^{2}+3x-6x-6+7x-5}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}-\frac{3x}{x+1}\right)+\left(4x+4\right)\times 5=9x^{2}+43x+8$$

Зведіть подібні члени у виразі 3x^{2}+3x-6x-6+7x-5.

$$\left(x^{3}+2x^{2}-5x-6\right)\left(\frac{3x^{2}+4x-11}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}-\frac{3x}{x+1}\right)+\left(4x+4\right)\times 5=9x^{2}+43x+8$$

Щоб додавати або віднімати вирази, розкрийте дужки та приведіть їх до спільного знаменника. Найменше спільне кратне чисел \left(x-2\right)\left(x+1\right) та x+1 – це \left(x-2\right)\left(x+1\right). Помножте \frac{3x}{x+1} на \frac{x-2}{x-2}.

$$\left(x^{3}+2x^{2}-5x-6\right)\left(\frac{3x^{2}+4x-11}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}-\frac{3x\left(x-2\right)}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}\right)+\left(4x+4\right)\times 5=9x^{2}+43x+8$$

Оскільки знаменник дробів \frac{3x^{2}+4x-11}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)} і \frac{3x\left(x-2\right)}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)} збігається, щоб знайти їх різницю, достатньо відняти чисельники один від одного.

$$\left(x^{3}+2x^{2}-5x-6\right)\times \frac{3x^{2}+4x-11-3x\left(x-2\right)}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}+\left(4x+4\right)\times 5=9x^{2}+43x+8$$

Виконайте множення у виразі 3x^{2}+4x-11-3x\left(x-2\right).

$$\left(x^{3}+2x^{2}-5x-6\right)\times \frac{3x^{2}+4x-11-3x^{2}+6x}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}+\left(4x+4\right)\times 5=9x^{2}+43x+8$$

Зведіть подібні члени у виразі 3x^{2}+4x-11-3x^{2}+6x.

$$\left(x^{3}+2x^{2}-5x-6\right)\times \frac{10x-11}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}+\left(4x+4\right)\times 5=9x^{2}+43x+8$$

Виразіть \left(x^{3}+2x^{2}-5x-6\right)\times \frac{10x-11}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)} як єдиний дріб.

$$\frac{\left(x^{3}+2x^{2}-5x-6\right)\left(10x-11\right)}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}+\left(4x+4\right)\times 5=9x^{2}+43x+8$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 4x+4 на 5.

$$\frac{\left(x^{3}+2x^{2}-5x-6\right)\left(10x-11\right)}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}+20x+20=9x^{2}+43x+8$$

Щоб додавати або віднімати вирази, розкрийте дужки та приведіть їх до спільного знаменника. Помножте 20x+20 на \frac{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}.

$$\frac{\left(x^{3}+2x^{2}-5x-6\right)\left(10x-11\right)}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}+\frac{\left(20x+20\right)\left(x-2\right)\left(x+1\right)}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}=9x^{2}+43x+8$$

Оскільки \frac{\left(x^{3}+2x^{2}-5x-6\right)\left(10x-11\right)}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)} та \frac{\left(20x+20\right)\left(x-2\right)\left(x+1\right)}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)} мають однакову знаменник, додайте їх чисельників.

$$\frac{\left(x^{3}+2x^{2}-5x-6\right)\left(10x-11\right)+\left(20x+20\right)\left(x-2\right)\left(x+1\right)}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}=9x^{2}+43x+8$$

Виконайте множення у виразі \left(x^{3}+2x^{2}-5x-6\right)\left(10x-11\right)+\left(20x+20\right)\left(x-2\right)\left(x+1\right).

$$\frac{10x^{4}-11x^{3}+20x^{3}-22x^{2}-50x^{2}+55x-60x+66+20x^{3}-20x^{2}-40x+20x^{2}-20x-40}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}=9x^{2}+43x+8$$

Зведіть подібні члени у виразі 10x^{4}-11x^{3}+20x^{3}-22x^{2}-50x^{2}+55x-60x+66+20x^{3}-20x^{2}-40x+20x^{2}-20x-40.

$$\frac{10x^{4}+29x^{3}-72x^{2}-65x+26}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}=9x^{2}+43x+8$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити x-2 на x+1 і звести подібні члени.

$$\frac{10x^{4}+29x^{3}-72x^{2}-65x+26}{x^{2}-x-2}=9x^{2}+43x+8$$

Відніміть 9x^{2} з обох сторін.

$$\frac{10x^{4}+29x^{3}-72x^{2}-65x+26}{x^{2}-x-2}-9x^{2}=43x+8$$

Розкладіть x^{2}-x-2 на множники.

$$\frac{10x^{4}+29x^{3}-72x^{2}-65x+26}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}-9x^{2}=43x+8$$

Щоб додавати або віднімати вирази, розкрийте дужки та приведіть їх до спільного знаменника. Помножте -9x^{2} на \frac{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}.

$$\frac{10x^{4}+29x^{3}-72x^{2}-65x+26}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}+\frac{-9x^{2}\left(x-2\right)\left(x+1\right)}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}=43x+8$$

Оскільки \frac{10x^{4}+29x^{3}-72x^{2}-65x+26}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)} та \frac{-9x^{2}\left(x-2\right)\left(x+1\right)}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)} мають однакову знаменник, додайте їх чисельників.

$$\frac{10x^{4}+29x^{3}-72x^{2}-65x+26-9x^{2}\left(x-2\right)\left(x+1\right)}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}=43x+8$$

Виконайте множення у виразі 10x^{4}+29x^{3}-72x^{2}-65x+26-9x^{2}\left(x-2\right)\left(x+1\right).

$$\frac{10x^{4}+29x^{3}-72x^{2}-65x+26-9x^{4}-9x^{3}+18x^{3}+18x^{2}}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}=43x+8$$

Зведіть подібні члени у виразі 10x^{4}+29x^{3}-72x^{2}-65x+26-9x^{4}-9x^{3}+18x^{3}+18x^{2}.

$$\frac{x^{4}+38x^{3}-54x^{2}-65x+26}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}=43x+8$$

Відніміть 43x з обох сторін.

$$\frac{x^{4}+38x^{3}-54x^{2}-65x+26}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}-43x=8$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити x-2 на x+1 і звести подібні члени.

$$\frac{x^{4}+38x^{3}-54x^{2}-65x+26}{x^{2}-x-2}-43x=8$$

Розкладіть x^{2}-x-2 на множники.

$$\frac{x^{4}+38x^{3}-54x^{2}-65x+26}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}-43x=8$$

Щоб додавати або віднімати вирази, розкрийте дужки та приведіть їх до спільного знаменника. Помножте -43x на \frac{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}.

$$\frac{x^{4}+38x^{3}-54x^{2}-65x+26}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}+\frac{-43x\left(x-2\right)\left(x+1\right)}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}=8$$

Оскільки \frac{x^{4}+38x^{3}-54x^{2}-65x+26}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)} та \frac{-43x\left(x-2\right)\left(x+1\right)}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)} мають однакову знаменник, додайте їх чисельників.

$$\frac{x^{4}+38x^{3}-54x^{2}-65x+26-43x\left(x-2\right)\left(x+1\right)}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}=8$$

Виконайте множення у виразі x^{4}+38x^{3}-54x^{2}-65x+26-43x\left(x-2\right)\left(x+1\right).

$$\frac{x^{4}+38x^{3}-54x^{2}-65x+26-43x^{3}-43x^{2}+86x^{2}+86x}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}=8$$

Зведіть подібні члени у виразі x^{4}+38x^{3}-54x^{2}-65x+26-43x^{3}-43x^{2}+86x^{2}+86x.

$$\frac{x^{4}-5x^{3}-11x^{2}+21x+26}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}=8$$

Відніміть 8 з обох сторін.

$$\frac{x^{4}-5x^{3}-11x^{2}+21x+26}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}-8=0$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити x-2 на x+1 і звести подібні члени.

$$\frac{x^{4}-5x^{3}-11x^{2}+21x+26}{x^{2}-x-2}-8=0$$

Розкладіть x^{2}-x-2 на множники.

$$\frac{x^{4}-5x^{3}-11x^{2}+21x+26}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}-8=0$$

Щоб додавати або віднімати вирази, розкрийте дужки та приведіть їх до спільного знаменника. Помножте 8 на \frac{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}.

$$\frac{x^{4}-5x^{3}-11x^{2}+21x+26}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}-\frac{8\left(x-2\right)\left(x+1\right)}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}=0$$

Оскільки знаменник дробів \frac{x^{4}-5x^{3}-11x^{2}+21x+26}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)} і \frac{8\left(x-2\right)\left(x+1\right)}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)} збігається, щоб знайти їх різницю, достатньо відняти чисельники один від одного.

$$\frac{x^{4}-5x^{3}-11x^{2}+21x+26-8\left(x-2\right)\left(x+1\right)}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}=0$$

Виконайте множення у виразі x^{4}-5x^{3}-11x^{2}+21x+26-8\left(x-2\right)\left(x+1\right).

$$\frac{x^{4}-5x^{3}-11x^{2}+21x+26-8x^{2}-8x+16x+16}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}=0$$

Зведіть подібні члени у виразі x^{4}-5x^{3}-11x^{2}+21x+26-8x^{2}-8x+16x+16.

$$\frac{x^{4}-5x^{3}-19x^{2}+29x+42}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}=0$$

Змінна x не може дорівнювати жодному зі значень -1,2, тому що ділення на нуль не визначено. Помножте обидві сторони цього рівняння на \left(x-2\right)\left(x+1\right).

$$x^{4}-5x^{3}-19x^{2}+29x+42=0$$

За теоремою про раціональні корені всі раціональні корені многочлена мають вигляд \frac{p}{q}, де p ділить вільний член 42, а q ділить старший коефіцієнт многочлена 1. Перелічіть всі можливі \frac{p}{q}.

$$±42,±21,±14,±7,±6,±3,±2,±1$$

Знайдіть один такий корінь, перебравши всі цілі значення, починаючи з найменшого за модулем. Якщо не вдалося знайти жодного цілого кореня, спробуйте дроби.

$$x=-1$$

За допомогою Ньютона, x-k – це коефіцієнт полінома для кожного кореневого k. Розділіть x^{4}-5x^{3}-19x^{2}+29x+42 на x+1, щоб отримати x^{3}-6x^{2}-13x+42. Розв'яжіть рівняння, у якій результат дорівнює 0.

$$x^{3}-6x^{2}-13x+42=0$$

За теоремою про раціональні корені всі раціональні корені многочлена мають вигляд \frac{p}{q}, де p ділить вільний член 42, а q ділить старший коефіцієнт многочлена 1. Перелічіть всі можливі \frac{p}{q}.

$$±42,±21,±14,±7,±6,±3,±2,±1$$

Знайдіть один такий корінь, перебравши всі цілі значення, починаючи з найменшого за модулем. Якщо не вдалося знайти жодного цілого кореня, спробуйте дроби.

$$x=2$$

За допомогою Ньютона, x-k – це коефіцієнт полінома для кожного кореневого k. Розділіть x^{3}-6x^{2}-13x+42 на x-2, щоб отримати x^{2}-4x-21. Розв'яжіть рівняння, у якій результат дорівнює 0.

$$x^{2}-4x-21=0$$

Усі рівняння вигляду ax^{2}+bx+c=0 можна вирішити за допомогою загальної формули для квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замініть у цій формулі 1 на a, -4 – на b, а -21 – на c.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 1\left(-21\right)}}{2}$$

Виконайте арифметичні операції.

$$x=\frac{4±10}{2}$$

Розв’яжіть рівняння x^{2}-4x-21=0 для випадку, коли замість ± використовується знак "плюс", і коли замість ± використовується знак "мінус".

$$x=-3 x=7$$

Видаліть значення, яким не може дорівнювати змінна.

$$x=7$$

Список усіх знайдених рішень.

$$x=-1 x=2 x=-3 x=7$$

Змінна x не може дорівнювати жодному зі значень -1,2,-3.

$$x=7$$