Розв'яжіть (23-x)^2+x^2=17^2

$$( 23 - x ) ^ { 2 } + x ^ { 2 } = 17 ^ { 2 }$$

Знайдіть x

$$x=8$$

$$x=15$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(23-x\right)^{2}.

$$529-46x+x^{2}+x^{2}=17^{2}$$

Додайте x^{2} до x^{2}, щоб отримати 2x^{2}.

$$529-46x+2x^{2}=17^{2}$$

Обчисліть 17 у степені 2 і отримайте 289.

$$529-46x+2x^{2}=289$$

Відніміть 289 з обох сторін.

$$529-46x+2x^{2}-289=0$$

Відніміть 289 від 529, щоб отримати 240.

$$240-46x+2x^{2}=0$$

Розділіть обидві сторони на 2.

$$120-23x+x^{2}=0$$

Упорядкуйте многочлен, щоб привести його до стандартного вигляду. Розташуйте доданки в порядку від найвищого степеня до найнижчого.

$$x^{2}-23x+120=0$$

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді x^{2}+ax+bx+120. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=-23 ab=1\times 120=120$$

Оскільки ab додатне, a та b мають однаковий знак. Оскільки a+b від'ємне, a і b мають від’ємне значення. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює 120.

$$-1,-120 -2,-60 -3,-40 -4,-30 -5,-24 -6,-20 -8,-15 -10,-12$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$-1-120=-121 -2-60=-62 -3-40=-43 -4-30=-34 -5-24=-29 -6-20=-26 -8-15=-23 -10-12=-22$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює -23.

$$a=-15 b=-8$$

Перепишіть x^{2}-23x+120 як \left(x^{2}-15x\right)+\left(-8x+120\right).

$$\left(x^{2}-15x\right)+\left(-8x+120\right)$$

x на першій та -8 в друге групу.

$$x\left(x-15\right)-8\left(x-15\right)$$

Винесіть за дужки спільний член x-15, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(x-15\right)\left(x-8\right)$$

Щоб знайти рішення для формул, Розв'яжіть x-15=0 та x-8=0.

$$x=15 x=8$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(23-x\right)^{2}.

$$529-46x+x^{2}+x^{2}=17^{2}$$

Додайте x^{2} до x^{2}, щоб отримати 2x^{2}.

$$529-46x+2x^{2}=17^{2}$$

Обчисліть 17 у степені 2 і отримайте 289.

$$529-46x+2x^{2}=289$$

Відніміть 289 з обох сторін.

$$529-46x+2x^{2}-289=0$$

Відніміть 289 від 529, щоб отримати 240.

$$240-46x+2x^{2}=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$2x^{2}-46x+240=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 2 замість a, -46 замість b і 240 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{\left(-46\right)^{2}-4\times 2\times 240}}{2\times 2}$$

Піднесіть -46 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{2116-4\times 2\times 240}}{2\times 2}$$

Помножте -4 на 2.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{2116-8\times 240}}{2\times 2}$$

Помножте -8 на 240.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{2116-1920}}{2\times 2}$$

Додайте 2116 до -1920.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{196}}{2\times 2}$$

Видобудьте квадратний корінь із 196.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±14}{2\times 2}$$

Число, протилежне до -46, дорівнює 46.

$$x=\frac{46±14}{2\times 2}$$

Помножте 2 на 2.

$$x=\frac{46±14}{4}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{46±14}{4} за додатного значення ±. Додайте 46 до 14.

$$x=\frac{60}{4}$$

Розділіть 60 на 4.

$$x=15$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{46±14}{4} за від’ємного значення ±. Відніміть 14 від 46.

$$x=\frac{32}{4}$$

Розділіть 32 на 4.

$$x=8$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=15 x=8$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(23-x\right)^{2}.

$$529-46x+x^{2}+x^{2}=17^{2}$$

Додайте x^{2} до x^{2}, щоб отримати 2x^{2}.

$$529-46x+2x^{2}=17^{2}$$

Обчисліть 17 у степені 2 і отримайте 289.

$$529-46x+2x^{2}=289$$

Відніміть 529 з обох сторін.

$$-46x+2x^{2}=289-529$$

Відніміть 529 від 289, щоб отримати -240.

$$-46x+2x^{2}=-240$$

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-46x=-240$$

Розділіть обидві сторони на 2.

$$\frac{2x^{2}-46x}{2}=-\frac{240}{2}$$

Ділення на 2 скасовує множення на 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{46}{2}\right)x=-\frac{240}{2}$$

Розділіть -46 на 2.

$$x^{2}-23x=-\frac{240}{2}$$

Розділіть -240 на 2.

$$x^{2}-23x=-120$$

Поділіть -23 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{23}{2}. Потім додайте -\frac{23}{2} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-23x+\left(-\frac{23}{2}\right)^{2}=-120+\left(-\frac{23}{2}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{23}{2} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-23x+\frac{529}{4}=-120+\frac{529}{4}$$

Додайте -120 до \frac{529}{4}.

$$x^{2}-23x+\frac{529}{4}=\frac{49}{4}$$

Розкладіть x^{2}-23x+\frac{529}{4} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{23}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{23}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{23}{2}=\frac{7}{2} x-\frac{23}{2}=-\frac{7}{2}$$

Додайте \frac{23}{2} до обох сторін цього рівняння.

$$x=15 x=8$$