Розв'яжіть (22+51x-10x^2)_{max}

$$( 22 + 51 x - 10 x ^ { 2 } ) _ { \max }$$

Розкласти на множники

$$-\left(2x-11\right)\left(5x+2\right)$$

Покрокове розв’язання

Упорядкуйте многочлен, щоб привести його до стандартного вигляду. Розташуйте доданки в порядку від найвищого степеня до найнижчого.

$$-10x^{2}+51x+22$$

Розкладіть вираз на множники методом групування. Спочатку вираз потрібно переписати у вигляді -10x^{2}+ax+bx+22. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=51 ab=-10\times 22=-220$$

Оскільки ab від'ємне, a і b протилежному знаки. Оскільки значення a+b додатне, додатне число за модулем більше за від’ємне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -220.

$$-1,220 -2,110 -4,55 -5,44 -10,22 -11,20$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$-1+220=219 -2+110=108 -4+55=51 -5+44=39 -10+22=12 -11+20=9$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює 51.

$$a=55 b=-4$$

Перепишіть -10x^{2}+51x+22 як \left(-10x^{2}+55x\right)+\left(-4x+22\right).

$$\left(-10x^{2}+55x\right)+\left(-4x+22\right)$$

-5x на першій та -2 в друге групу.

$$-5x\left(2x-11\right)-2\left(2x-11\right)$$

Винесіть за дужки спільний член 2x-11, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(2x-11\right)\left(-5x-2\right)$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$-10x^{2}+51x+22=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$x=\frac{-51±\sqrt{51^{2}-4\left(-10\right)\times 22}}{2\left(-10\right)}$$

Піднесіть 51 до квадрата.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601-4\left(-10\right)\times 22}}{2\left(-10\right)}$$

Помножте -4 на -10.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601+40\times 22}}{2\left(-10\right)}$$

Помножте 40 на 22.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601+880}}{2\left(-10\right)}$$

Додайте 2601 до 880.

$$x=\frac{-51±\sqrt{3481}}{2\left(-10\right)}$$

Видобудьте квадратний корінь із 3481.

$$x=\frac{-51±59}{2\left(-10\right)}$$

Помножте 2 на -10.

$$x=\frac{-51±59}{-20}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-51±59}{-20} за додатного значення ±. Додайте -51 до 59.

$$x=\frac{8}{-20}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 4, щоб звести дріб \frac{8}{-20} до нескоротного вигляду.

$$x=-\frac{2}{5}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-51±59}{-20} за від’ємного значення ±. Відніміть 59 від -51.

$$x=-\frac{110}{-20}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 10, щоб звести дріб \frac{-110}{-20} до нескоротного вигляду.

$$x=\frac{11}{2}$$

Розкладіть вихідний вираз на множники за принципом ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Замініть -\frac{2}{5} на x_{1} та \frac{11}{2} на x_{2}.

$$-10x^{2}+51x+22=-10\left(x-\left(-\frac{2}{5}\right)\right)\left(x-\frac{11}{2}\right)$$

Спростіть усі вирази виду p-\left(-q\right) до виразів виду p+q.

$$-10x^{2}+51x+22=-10\left(x+\frac{2}{5}\right)\left(x-\frac{11}{2}\right)$$

Щоб додати \frac{2}{5} до x, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$-10x^{2}+51x+22=-10\times \frac{-5x-2}{-5}\left(x-\frac{11}{2}\right)$$

Щоб відняти x від \frac{11}{2}, визначте спільний знаменник і обчисліть різницю чисельників. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$-10x^{2}+51x+22=-10\times \frac{-5x-2}{-5}\times \frac{-2x+11}{-2}$$

Щоб помножити \frac{-5x-2}{-5} на \frac{-2x+11}{-2}, помножте чисельник на чисельник і знаменник на знаменник. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$-10x^{2}+51x+22=-10\times \frac{\left(-5x-2\right)\left(-2x+11\right)}{-5\left(-2\right)}$$

Помножте -5 на -2.

$$-10x^{2}+51x+22=-10\times \frac{\left(-5x-2\right)\left(-2x+11\right)}{10}$$

Відкиньте 10, тобто найбільший спільний дільник для -10 й 10.

$$-10x^{2}+51x+22=-\left(-5x-2\right)\left(-2x+11\right)$$

Обчислити

$$22+51x-10x^{2}$$