Розв'яжіть (2x-3)^2-(x-5)^2=-23

$$( 2 x - 3 ) ^ { 2 } - ( x - 5 ) ^ { 2 } = - 23$$

Знайдіть x (complex solution)

$$x=\frac{1+2\sqrt{5}i}{3}\approx 0,333333333+1,490711985i$$

$$x=\frac{-2\sqrt{5}i+1}{3}\approx 0,333333333-1,490711985i$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(2x-3\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x-5\right)^{2}=-23$$

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(x-5\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x^{2}-10x+25\right)=-23$$

Щоб знайти протилежне виразу x^{2}-10x+25, знайдіть протилежне значення для кожного члена.

$$4x^{2}-12x+9-x^{2}+10x-25=-23$$

Додайте 4x^{2} до -x^{2}, щоб отримати 3x^{2}.

$$3x^{2}-12x+9+10x-25=-23$$

Додайте -12x до 10x, щоб отримати -2x.

$$3x^{2}-2x+9-25=-23$$

Відніміть 25 від 9, щоб отримати -16.

$$3x^{2}-2x-16=-23$$

Додайте 23 до обох сторін.

$$3x^{2}-2x-16+23=0$$

Додайте -16 до 23, щоб обчислити 7.

$$3x^{2}-2x+7=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 3 замість a, -2 замість b і 7 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 3\times 7}}{2\times 3}$$

Піднесіть -2 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 3\times 7}}{2\times 3}$$

Помножте -4 на 3.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-12\times 7}}{2\times 3}$$

Помножте -12 на 7.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-84}}{2\times 3}$$

Додайте 4 до -84.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-80}}{2\times 3}$$

Видобудьте квадратний корінь із -80.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±4\sqrt{5}i}{2\times 3}$$

Число, протилежне до -2, дорівнює 2.

$$x=\frac{2±4\sqrt{5}i}{2\times 3}$$

Помножте 2 на 3.

$$x=\frac{2±4\sqrt{5}i}{6}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{2±4\sqrt{5}i}{6} за додатного значення ±. Додайте 2 до 4i\sqrt{5}.

$$x=\frac{2+4\sqrt{5}i}{6}$$

Розділіть 2+4i\sqrt{5} на 6.

$$x=\frac{1+2\sqrt{5}i}{3}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{2±4\sqrt{5}i}{6} за від’ємного значення ±. Відніміть 4i\sqrt{5} від 2.

$$x=\frac{-4\sqrt{5}i+2}{6}$$

Розділіть 2-4i\sqrt{5} на 6.

$$x=\frac{-2\sqrt{5}i+1}{3}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{1+2\sqrt{5}i}{3} x=\frac{-2\sqrt{5}i+1}{3}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(2x-3\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x-5\right)^{2}=-23$$

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(x-5\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x^{2}-10x+25\right)=-23$$

Щоб знайти протилежне виразу x^{2}-10x+25, знайдіть протилежне значення для кожного члена.

$$4x^{2}-12x+9-x^{2}+10x-25=-23$$

Додайте 4x^{2} до -x^{2}, щоб отримати 3x^{2}.

$$3x^{2}-12x+9+10x-25=-23$$

Додайте -12x до 10x, щоб отримати -2x.

$$3x^{2}-2x+9-25=-23$$

Відніміть 25 від 9, щоб отримати -16.

$$3x^{2}-2x-16=-23$$

Додайте 16 до обох сторін.

$$3x^{2}-2x=-23+16$$

Додайте -23 до 16, щоб обчислити -7.

$$3x^{2}-2x=-7$$

Розділіть обидві сторони на 3.

$$\frac{3x^{2}-2x}{3}=-\frac{7}{3}$$

Ділення на 3 скасовує множення на 3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=-\frac{7}{3}$$

Поділіть -\frac{2}{3} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{1}{3}. Потім додайте -\frac{1}{3} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{7}{3}+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{1}{3} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{7}{3}+\frac{1}{9}$$

Щоб додати -\frac{7}{3} до \frac{1}{9}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{20}{9}$$

Розкладіть x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{20}{9}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{20}{9}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{2\sqrt{5}i}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{2\sqrt{5}i}{3}$$

Додайте \frac{1}{3} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{1+2\sqrt{5}i}{3} x=\frac{-2\sqrt{5}i+1}{3}$$