Розв'яжіть (2x-3)^2-(x+5)^2=-23

$$( 2 x - 3 ) ^ { 2 } - ( x + 5 ) ^ { 2 } = - 23$$

Знайдіть x

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

$$x=7$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(2x-3\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x+5\right)^{2}=-23$$

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(x+5\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x^{2}+10x+25\right)=-23$$

Щоб знайти протилежне виразу x^{2}+10x+25, знайдіть протилежне значення для кожного члена.

$$4x^{2}-12x+9-x^{2}-10x-25=-23$$

Додайте 4x^{2} до -x^{2}, щоб отримати 3x^{2}.

$$3x^{2}-12x+9-10x-25=-23$$

Додайте -12x до -10x, щоб отримати -22x.

$$3x^{2}-22x+9-25=-23$$

Відніміть 25 від 9, щоб отримати -16.

$$3x^{2}-22x-16=-23$$

Додайте 23 до обох сторін.

$$3x^{2}-22x-16+23=0$$

Додайте -16 до 23, щоб обчислити 7.

$$3x^{2}-22x+7=0$$

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді 3x^{2}+ax+bx+7. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=-22 ab=3\times 7=21$$

Оскільки ab додатне, a та b мають однаковий знак. Оскільки a+b від'ємне, a і b мають від’ємне значення. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює 21.

$$-1,-21 -3,-7$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$-1-21=-22 -3-7=-10$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює -22.

$$a=-21 b=-1$$

Перепишіть 3x^{2}-22x+7 як \left(3x^{2}-21x\right)+\left(-x+7\right).

$$\left(3x^{2}-21x\right)+\left(-x+7\right)$$

3x на першій та -1 в друге групу.

$$3x\left(x-7\right)-\left(x-7\right)$$

Винесіть за дужки спільний член x-7, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(x-7\right)\left(3x-1\right)$$

Щоб знайти рішення для формул, Розв'яжіть x-7=0 та 3x-1=0.

$$x=7 x=\frac{1}{3}$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(2x-3\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x+5\right)^{2}=-23$$

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(x+5\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x^{2}+10x+25\right)=-23$$

Щоб знайти протилежне виразу x^{2}+10x+25, знайдіть протилежне значення для кожного члена.

$$4x^{2}-12x+9-x^{2}-10x-25=-23$$

Додайте 4x^{2} до -x^{2}, щоб отримати 3x^{2}.

$$3x^{2}-12x+9-10x-25=-23$$

Додайте -12x до -10x, щоб отримати -22x.

$$3x^{2}-22x+9-25=-23$$

Відніміть 25 від 9, щоб отримати -16.

$$3x^{2}-22x-16=-23$$

Додайте 23 до обох сторін.

$$3x^{2}-22x-16+23=0$$

Додайте -16 до 23, щоб обчислити 7.

$$3x^{2}-22x+7=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 3 замість a, -22 замість b і 7 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{\left(-22\right)^{2}-4\times 3\times 7}}{2\times 3}$$

Піднесіть -22 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-4\times 3\times 7}}{2\times 3}$$

Помножте -4 на 3.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-12\times 7}}{2\times 3}$$

Помножте -12 на 7.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-84}}{2\times 3}$$

Додайте 484 до -84.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{400}}{2\times 3}$$

Видобудьте квадратний корінь із 400.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±20}{2\times 3}$$

Число, протилежне до -22, дорівнює 22.

$$x=\frac{22±20}{2\times 3}$$

Помножте 2 на 3.

$$x=\frac{22±20}{6}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{22±20}{6} за додатного значення ±. Додайте 22 до 20.

$$x=\frac{42}{6}$$

Розділіть 42 на 6.

$$x=7$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{22±20}{6} за від’ємного значення ±. Відніміть 20 від 22.

$$x=\frac{2}{6}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 2, щоб звести дріб \frac{2}{6} до нескоротного вигляду.

$$x=\frac{1}{3}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=7 x=\frac{1}{3}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(2x-3\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x+5\right)^{2}=-23$$

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(x+5\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x^{2}+10x+25\right)=-23$$

Щоб знайти протилежне виразу x^{2}+10x+25, знайдіть протилежне значення для кожного члена.

$$4x^{2}-12x+9-x^{2}-10x-25=-23$$

Додайте 4x^{2} до -x^{2}, щоб отримати 3x^{2}.

$$3x^{2}-12x+9-10x-25=-23$$

Додайте -12x до -10x, щоб отримати -22x.

$$3x^{2}-22x+9-25=-23$$

Відніміть 25 від 9, щоб отримати -16.

$$3x^{2}-22x-16=-23$$

Додайте 16 до обох сторін.

$$3x^{2}-22x=-23+16$$

Додайте -23 до 16, щоб обчислити -7.

$$3x^{2}-22x=-7$$

Розділіть обидві сторони на 3.

$$\frac{3x^{2}-22x}{3}=-\frac{7}{3}$$

Ділення на 3 скасовує множення на 3.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x=-\frac{7}{3}$$

Поділіть -\frac{22}{3} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{11}{3}. Потім додайте -\frac{11}{3} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x+\left(-\frac{11}{3}\right)^{2}=-\frac{7}{3}+\left(-\frac{11}{3}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{11}{3} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x+\frac{121}{9}=-\frac{7}{3}+\frac{121}{9}$$

Щоб додати -\frac{7}{3} до \frac{121}{9}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x+\frac{121}{9}=\frac{100}{9}$$

Розкладіть x^{2}-\frac{22}{3}x+\frac{121}{9} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{3}\right)^{2}=\frac{100}{9}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{100}{9}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{11}{3}=\frac{10}{3} x-\frac{11}{3}=-\frac{10}{3}$$

Додайте \frac{11}{3} до обох сторін цього рівняння.

$$x=7 x=\frac{1}{3}$$