Розв'яжіть (2x-1)^2=121

$$( 2 x - 1 ) ^ { 2 } = 121$$

Знайдіть x

$$x=6$$

$$x=-5$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(2x-1\right)^{2}.

$$4x^{2}-4x+1=121$$

Відніміть 121 з обох сторін.

$$4x^{2}-4x+1-121=0$$

Відніміть 121 від 1, щоб отримати -120.

$$4x^{2}-4x-120=0$$

Розділіть обидві сторони на 4.

$$x^{2}-x-30=0$$

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді x^{2}+ax+bx-30. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=-1 ab=1\left(-30\right)=-30$$

Оскільки ab від'ємне, a і b протилежному знаки. Оскільки значення a+b від’ємне, від’ємне число за модулем більше за додатне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -30.

$$1,-30 2,-15 3,-10 5,-6$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$1-30=-29 2-15=-13 3-10=-7 5-6=-1$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює -1.

$$a=-6 b=5$$

Перепишіть x^{2}-x-30 як \left(x^{2}-6x\right)+\left(5x-30\right).

$$\left(x^{2}-6x\right)+\left(5x-30\right)$$

x на першій та 5 в друге групу.

$$x\left(x-6\right)+5\left(x-6\right)$$

Винесіть за дужки спільний член x-6, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(x-6\right)\left(x+5\right)$$

Щоб знайти рішення для формул, Розв'яжіть x-6=0 та x+5=0.

$$x=6 x=-5$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(2x-1\right)^{2}.

$$4x^{2}-4x+1=121$$

Відніміть 121 з обох сторін.

$$4x^{2}-4x+1-121=0$$

Відніміть 121 від 1, щоб отримати -120.

$$4x^{2}-4x-120=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 4 замість a, -4 замість b і -120 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4\left(-120\right)}}{2\times 4}$$

Піднесіть -4 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 4\left(-120\right)}}{2\times 4}$$

Помножте -4 на 4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-16\left(-120\right)}}{2\times 4}$$

Помножте -16 на -120.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+1920}}{2\times 4}$$

Додайте 16 до 1920.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{1936}}{2\times 4}$$

Видобудьте квадратний корінь із 1936.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±44}{2\times 4}$$

Число, протилежне до -4, дорівнює 4.

$$x=\frac{4±44}{2\times 4}$$

Помножте 2 на 4.

$$x=\frac{4±44}{8}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{4±44}{8} за додатного значення ±. Додайте 4 до 44.

$$x=\frac{48}{8}$$

Розділіть 48 на 8.

$$x=6$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{4±44}{8} за від’ємного значення ±. Відніміть 44 від 4.

$$x=-\frac{40}{8}$$

Розділіть -40 на 8.

$$x=-5$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=6 x=-5$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(2x-1\right)^{2}.

$$4x^{2}-4x+1=121$$

Відніміть 1 з обох сторін.

$$4x^{2}-4x=121-1$$

Відніміть 1 від 121, щоб отримати 120.

$$4x^{2}-4x=120$$

Розділіть обидві сторони на 4.

$$\frac{4x^{2}-4x}{4}=\frac{120}{4}$$

Ділення на 4 скасовує множення на 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{4}\right)x=\frac{120}{4}$$

Розділіть -4 на 4.

$$x^{2}-x=\frac{120}{4}$$

Розділіть 120 на 4.

$$x^{2}-x=30$$

Поділіть -1 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{1}{2}. Потім додайте -\frac{1}{2} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=30+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{1}{2} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=30+\frac{1}{4}$$

Додайте 30 до \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{121}{4}$$

Розкладіть x^{2}-x+\frac{1}{4} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{11}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{11}{2}$$

Додайте \frac{1}{2} до обох сторін цього рівняння.

$$x=6 x=-5$$