Розв'яжіть (2x)^2-12(x+1)geq0

$$( 2 x ) ^ { 2 } - 12 ( x + 1 ) \geq 0$$

Знайти x

$$x\in (-\infty,\frac{3-\sqrt{21}}{2}]\cup [\frac{\sqrt{21}+3}{2},\infty)$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Розкладіть \left(2x\right)^{2}

$$2^{2}x^{2}-12\left(x+1\right)\geq 0$$

Обчисліть 2 у степені 2 і отримайте 4.

$$4x^{2}-12\left(x+1\right)\geq 0$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити -12 на x+1.

$$4x^{2}-12x-12\geq 0$$

Щоб розв’язати нерівність, розкладіть ліву частину на множники. Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$4x^{2}-12x-12=0$$

Усі рівняння вигляду ax^{2}+bx+c=0 можна вирішити за допомогою загальної формули для квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замініть у цій формулі 4 на a, -12 – на b, а -12 – на c.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 4\left(-12\right)}}{2\times 4}$$

Виконайте арифметичні операції.

$$x=\frac{12±4\sqrt{21}}{8}$$

Розв’яжіть рівняння x=\frac{12±4\sqrt{21}}{8} для випадку, коли замість ± використовується знак "плюс", і коли замість ± використовується знак "мінус".

$$x=\frac{\sqrt{21}+3}{2} x=\frac{3-\sqrt{21}}{2}$$

Перепишіть нерівність за допомогою отриманих розв’язків.

$$4\left(x-\frac{\sqrt{21}+3}{2}\right)\left(x-\frac{3-\sqrt{21}}{2}\right)\geq 0$$

Щоб добуток був ≥0, x-\frac{\sqrt{21}+3}{2} і x-\frac{3-\sqrt{21}}{2} мають одночасно бути або ≤0, або ≥0. Розглянемо випадок, коли x-\frac{\sqrt{21}+3}{2} і x-\frac{3-\sqrt{21}}{2} ≤0.

$$x-\frac{\sqrt{21}+3}{2}\leq 0 x-\frac{3-\sqrt{21}}{2}\leq 0$$

Обидві нерівності мають такий розв’язок: x\leq \frac{3-\sqrt{21}}{2}.

$$x\leq \frac{3-\sqrt{21}}{2}$$

Розглянемо випадок, коли x-\frac{\sqrt{21}+3}{2} і x-\frac{3-\sqrt{21}}{2} ≥0.

$$x-\frac{3-\sqrt{21}}{2}\geq 0 x-\frac{\sqrt{21}+3}{2}\geq 0$$

Обидві нерівності мають такий розв’язок: x\geq \frac{\sqrt{21}+3}{2}.

$$x\geq \frac{\sqrt{21}+3}{2}$$

Остаточний розв’язок – об’єднання отриманих розв’язків.

$$x\leq \frac{3-\sqrt{21}}{2}\text{; }x\geq \frac{\sqrt{21}+3}{2}$$