Розв'яжіть (2x+4)^2-5x(7-3x)(7+3x)-(3x-2)^2-40x^2=-205

$$( 2 x + 4 ) ^ { 2 } - 5 x ( 7 - 3 x ) ( 7 + 3 x ) - ( 3 x - 2 ) ^ { 2 } - 40 x ^ { 2 } = - 205$$

Знайдіть x

$$x = \frac{\sqrt{1085}}{15} \approx 2,195955879$$

$$x = -\frac{\sqrt{1085}}{15} \approx -2,195955879$$

$$x=1$$

Покрокове розв’язання

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(2x+4\right)^{2}.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-\left(3x-2\right)^{2}-40x^{2}=-205$$

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(3x-2\right)^{2}.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-\left(9x^{2}-12x+4\right)-40x^{2}=-205$$

Щоб знайти протилежне виразу 9x^{2}-12x+4, знайдіть протилежне значення для кожного члена.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-9x^{2}+12x-4-40x^{2}=-205$$

Додайте -9x^{2} до -40x^{2}, щоб отримати -49x^{2}.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-49x^{2}+12x-4=-205$$

Додайте 205 до обох сторін.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-49x^{2}+12x-4+205=0$$

Додайте -4 до 205, щоб обчислити 201.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-49x^{2}+12x+201=0$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити -5x на 7-3x.

$$4x^{2}+16x+16+\left(-35x+15x^{2}\right)\left(7+3x\right)-49x^{2}+12x+201=0$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити -35x+15x^{2} на 7+3x і звести подібні члени.

$$4x^{2}+16x+16-245x+45x^{3}-49x^{2}+12x+201=0$$

Додайте 16x до -245x, щоб отримати -229x.

$$4x^{2}-229x+16+45x^{3}-49x^{2}+12x+201=0$$

Додайте 4x^{2} до -49x^{2}, щоб отримати -45x^{2}.

$$-45x^{2}-229x+16+45x^{3}+12x+201=0$$

Додайте -229x до 12x, щоб отримати -217x.

$$-45x^{2}-217x+16+45x^{3}+201=0$$

Додайте 16 до 201, щоб обчислити 217.

$$-45x^{2}-217x+217+45x^{3}=0$$

Упорядкуйте рівняння, щоб привести його до стандартного вигляду. Розташуйте члени в порядку від найвищого степеня до найнижчого.

$$45x^{3}-45x^{2}-217x+217=0$$

За теоремою про раціональні корені всі раціональні корені многочлена мають вигляд \frac{p}{q}, де p ділить вільний член 217, а q ділить старший коефіцієнт многочлена 45. Перелічіть всі можливі \frac{p}{q}.

$$±\frac{217}{45},±\frac{217}{15},±\frac{217}{9},±\frac{217}{5},±\frac{217}{3},±217,±\frac{31}{45},±\frac{31}{15},±\frac{31}{9},±\frac{31}{5},±\frac{31}{3},±31,±\frac{7}{45},±\frac{7}{15},±\frac{7}{9},±\frac{7}{5},±\frac{7}{3},±7,±\frac{1}{45},±\frac{1}{15},±\frac{1}{9},±\frac{1}{5},±\frac{1}{3},±1$$

Знайдіть один такий корінь, перебравши всі цілі значення, починаючи з найменшого за модулем. Якщо не вдалося знайти жодного цілого кореня, спробуйте дроби.

$$x=1$$

За допомогою Ньютона, x-k – це коефіцієнт полінома для кожного кореневого k. Розділіть 45x^{3}-45x^{2}-217x+217 на x-1, щоб отримати 45x^{2}-217. Розв'яжіть рівняння, у якій результат дорівнює 0.

$$45x^{2}-217=0$$

Усі рівняння вигляду ax^{2}+bx+c=0 можна вирішити за допомогою загальної формули для квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замініть у цій формулі 45 на a, 0 – на b, а -217 – на c.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 45\left(-217\right)}}{2\times 45}$$

Виконайте арифметичні операції.

$$x=\frac{0±6\sqrt{1085}}{90}$$

Розв’яжіть рівняння 45x^{2}-217=0 для випадку, коли замість ± використовується знак "плюс", і коли замість ± використовується знак "мінус".

$$x=-\frac{\sqrt{1085}}{15} x=\frac{\sqrt{1085}}{15}$$

Список усіх знайдених рішень.

$$x=1 x=-\frac{\sqrt{1085}}{15} x=\frac{\sqrt{1085}}{15}$$