Розв'яжіть (2x+3)(x^2-16)+(x-4)(x+40)=2(x-4)(x^2-16)

$$( 2 x + 3 ) ( x ^ { 2 } - 16 ) + ( x - 4 ) ( x + 40 ) = 2 ( x - 4 ) ( x ^ { 2 } - 16 )$$

Знайдіть x

$$x=-7$$

$$x=4$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 2x+3 на x^{2}-16.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+\left(x-4\right)\left(x+40\right)=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити x-4 на x+40 і звести подібні члени.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+x^{2}+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Додайте 3x^{2} до x^{2}, щоб отримати 4x^{2}.

$$2x^{3}-32x+4x^{2}-48+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Додайте -32x до 36x, щоб отримати 4x.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-48-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Відніміть 160 від -48, щоб отримати -208.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 2 на x-4.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=\left(2x-8\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 2x-8 на x^{2}-16.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2x^{3}-32x-8x^{2}+128$$

Відніміть 2x^{3} з обох сторін.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208-2x^{3}=-32x-8x^{2}+128$$

Додайте 2x^{3} до -2x^{3}, щоб отримати 0.

$$4x+4x^{2}-208=-32x-8x^{2}+128$$

Додайте 32x до обох сторін.

$$4x+4x^{2}-208+32x=-8x^{2}+128$$

Додайте 4x до 32x, щоб отримати 36x.

$$36x+4x^{2}-208=-8x^{2}+128$$

Додайте 8x^{2} до обох сторін.

$$36x+4x^{2}-208+8x^{2}=128$$

Додайте 4x^{2} до 8x^{2}, щоб отримати 12x^{2}.

$$36x+12x^{2}-208=128$$

Відніміть 128 з обох сторін.

$$36x+12x^{2}-208-128=0$$

Відніміть 128 від -208, щоб отримати -336.

$$36x+12x^{2}-336=0$$

Розділіть обидві сторони на 12.

$$3x+x^{2}-28=0$$

Упорядкуйте многочлен, щоб привести його до стандартного вигляду. Розташуйте доданки в порядку від найвищого степеня до найнижчого.

$$x^{2}+3x-28=0$$

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді x^{2}+ax+bx-28. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=3 ab=1\left(-28\right)=-28$$

Оскільки ab від'ємне, a і b протилежному знаки. Оскільки значення a+b додатне, додатне число за модулем більше за від’ємне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -28.

$$-1,28 -2,14 -4,7$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$-1+28=27 -2+14=12 -4+7=3$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює 3.

$$a=-4 b=7$$

Перепишіть x^{2}+3x-28 як \left(x^{2}-4x\right)+\left(7x-28\right).

$$\left(x^{2}-4x\right)+\left(7x-28\right)$$

x на першій та 7 в друге групу.

$$x\left(x-4\right)+7\left(x-4\right)$$

Винесіть за дужки спільний член x-4, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(x-4\right)\left(x+7\right)$$

Щоб знайти рішення для формул, Розв'яжіть x-4=0 та x+7=0.

$$x=4 x=-7$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 2x+3 на x^{2}-16.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+\left(x-4\right)\left(x+40\right)=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити x-4 на x+40 і звести подібні члени.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+x^{2}+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Додайте 3x^{2} до x^{2}, щоб отримати 4x^{2}.

$$2x^{3}-32x+4x^{2}-48+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Додайте -32x до 36x, щоб отримати 4x.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-48-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Відніміть 160 від -48, щоб отримати -208.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 2 на x-4.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=\left(2x-8\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 2x-8 на x^{2}-16.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2x^{3}-32x-8x^{2}+128$$

Відніміть 2x^{3} з обох сторін.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208-2x^{3}=-32x-8x^{2}+128$$

Додайте 2x^{3} до -2x^{3}, щоб отримати 0.

$$4x+4x^{2}-208=-32x-8x^{2}+128$$

Додайте 32x до обох сторін.

$$4x+4x^{2}-208+32x=-8x^{2}+128$$

Додайте 4x до 32x, щоб отримати 36x.

$$36x+4x^{2}-208=-8x^{2}+128$$

Додайте 8x^{2} до обох сторін.

$$36x+4x^{2}-208+8x^{2}=128$$

Додайте 4x^{2} до 8x^{2}, щоб отримати 12x^{2}.

$$36x+12x^{2}-208=128$$

Відніміть 128 з обох сторін.

$$36x+12x^{2}-208-128=0$$

Відніміть 128 від -208, щоб отримати -336.

$$36x+12x^{2}-336=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$12x^{2}+36x-336=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 12 замість a, 36 замість b і -336 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-36±\sqrt{36^{2}-4\times 12\left(-336\right)}}{2\times 12}$$

Піднесіть 36 до квадрата.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296-4\times 12\left(-336\right)}}{2\times 12}$$

Помножте -4 на 12.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296-48\left(-336\right)}}{2\times 12}$$

Помножте -48 на -336.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296+16128}}{2\times 12}$$

Додайте 1296 до 16128.

$$x=\frac{-36±\sqrt{17424}}{2\times 12}$$

Видобудьте квадратний корінь із 17424.

$$x=\frac{-36±132}{2\times 12}$$

Помножте 2 на 12.

$$x=\frac{-36±132}{24}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-36±132}{24} за додатного значення ±. Додайте -36 до 132.

$$x=\frac{96}{24}$$

Розділіть 96 на 24.

$$x=4$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-36±132}{24} за від’ємного значення ±. Відніміть 132 від -36.

$$x=-\frac{168}{24}$$

Розділіть -168 на 24.

$$x=-7$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=4 x=-7$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 2x+3 на x^{2}-16.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+\left(x-4\right)\left(x+40\right)=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити x-4 на x+40 і звести подібні члени.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+x^{2}+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Додайте 3x^{2} до x^{2}, щоб отримати 4x^{2}.

$$2x^{3}-32x+4x^{2}-48+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Додайте -32x до 36x, щоб отримати 4x.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-48-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Відніміть 160 від -48, щоб отримати -208.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 2 на x-4.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=\left(2x-8\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 2x-8 на x^{2}-16.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2x^{3}-32x-8x^{2}+128$$

Відніміть 2x^{3} з обох сторін.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208-2x^{3}=-32x-8x^{2}+128$$

Додайте 2x^{3} до -2x^{3}, щоб отримати 0.

$$4x+4x^{2}-208=-32x-8x^{2}+128$$

Додайте 32x до обох сторін.

$$4x+4x^{2}-208+32x=-8x^{2}+128$$

Додайте 4x до 32x, щоб отримати 36x.

$$36x+4x^{2}-208=-8x^{2}+128$$

Додайте 8x^{2} до обох сторін.

$$36x+4x^{2}-208+8x^{2}=128$$

Додайте 4x^{2} до 8x^{2}, щоб отримати 12x^{2}.

$$36x+12x^{2}-208=128$$

Додайте 208 до обох сторін.

$$36x+12x^{2}=128+208$$

Додайте 128 до 208, щоб обчислити 336.

$$36x+12x^{2}=336$$

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$12x^{2}+36x=336$$

Розділіть обидві сторони на 12.

$$\frac{12x^{2}+36x}{12}=\frac{336}{12}$$

Ділення на 12 скасовує множення на 12.

$$x^{2}+\frac{36}{12}x=\frac{336}{12}$$

Розділіть 36 на 12.

$$x^{2}+3x=\frac{336}{12}$$

Розділіть 336 на 12.

$$x^{2}+3x=28$$

Поділіть 3 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати \frac{3}{2}. Потім додайте \frac{3}{2} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=28+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Щоб піднести \frac{3}{2} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=28+\frac{9}{4}$$

Додайте 28 до \frac{9}{4}.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{121}{4}$$

Розкладіть x^{2}+3x+\frac{9}{4} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Виконайте спрощення.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{11}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{11}{2}$$

Відніміть \frac{3}{2} від обох сторін цього рівняння.

$$x=4 x=-7$$