Розв'яжіть (100)^2+(x+100)^2=(2x+100)^2

$$( 100 ) ^ { 2 } + ( x + 100 ) ^ { 2 } = ( 2 x + 100 ) ^ { 2 }$$

Знайдіть x

$$x = \frac{100}{3} = 33\frac{1}{3} \approx 33,333333333$$

$$x=-100$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Обчисліть 100 у степені 2 і отримайте 10000.

$$10000+\left(x+100\right)^{2}=\left(2x+100\right)^{2}$$

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(x+100\right)^{2}.

$$10000+x^{2}+200x+10000=\left(2x+100\right)^{2}$$

Додайте 10000 до 10000, щоб обчислити 20000.

$$20000+x^{2}+200x=\left(2x+100\right)^{2}$$

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(2x+100\right)^{2}.

$$20000+x^{2}+200x=4x^{2}+400x+10000$$

Відніміть 4x^{2} з обох сторін.

$$20000+x^{2}+200x-4x^{2}=400x+10000$$

Додайте x^{2} до -4x^{2}, щоб отримати -3x^{2}.

$$20000-3x^{2}+200x=400x+10000$$

Відніміть 400x з обох сторін.

$$20000-3x^{2}+200x-400x=10000$$

Додайте 200x до -400x, щоб отримати -200x.

$$20000-3x^{2}-200x=10000$$

Відніміть 10000 з обох сторін.

$$20000-3x^{2}-200x-10000=0$$

Відніміть 10000 від 20000, щоб отримати 10000.

$$10000-3x^{2}-200x=0$$

Упорядкуйте многочлен, щоб привести його до стандартного вигляду. Розташуйте доданки в порядку від найвищого степеня до найнижчого.

$$-3x^{2}-200x+10000=0$$

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді -3x^{2}+ax+bx+10000. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=-200 ab=-3\times 10000=-30000$$

Оскільки ab від'ємне, a і b протилежному знаки. Оскільки значення a+b від’ємне, від’ємне число за модулем більше за додатне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -30000.

$$1,-30000 2,-15000 3,-10000 4,-7500 5,-6000 6,-5000 8,-3750 10,-3000 12,-2500 15,-2000 16,-1875 20,-1500 24,-1250 25,-1200 30,-1000 40,-750 48,-625 50,-600 60,-500 75,-400 80,-375 100,-300 120,-250 125,-240 150,-200$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$1-30000=-29999 2-15000=-14998 3-10000=-9997 4-7500=-7496 5-6000=-5995 6-5000=-4994 8-3750=-3742 10-3000=-2990 12-2500=-2488 15-2000=-1985 16-1875=-1859 20-1500=-1480 24-1250=-1226 25-1200=-1175 30-1000=-970 40-750=-710 48-625=-577 50-600=-550 60-500=-440 75-400=-325 80-375=-295 100-300=-200 120-250=-130 125-240=-115 150-200=-50$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює -200.

$$a=100 b=-300$$

Перепишіть -3x^{2}-200x+10000 як \left(-3x^{2}+100x\right)+\left(-300x+10000\right).

$$\left(-3x^{2}+100x\right)+\left(-300x+10000\right)$$

-x на першій та -100 в друге групу.

$$-x\left(3x-100\right)-100\left(3x-100\right)$$

Винесіть за дужки спільний член 3x-100, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(3x-100\right)\left(-x-100\right)$$

Щоб знайти рішення для формул, Розв'яжіть 3x-100=0 та -x-100=0.

$$x=\frac{100}{3} x=-100$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Обчисліть 100 у степені 2 і отримайте 10000.

$$10000+\left(x+100\right)^{2}=\left(2x+100\right)^{2}$$

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(x+100\right)^{2}.

$$10000+x^{2}+200x+10000=\left(2x+100\right)^{2}$$

Додайте 10000 до 10000, щоб обчислити 20000.

$$20000+x^{2}+200x=\left(2x+100\right)^{2}$$

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(2x+100\right)^{2}.

$$20000+x^{2}+200x=4x^{2}+400x+10000$$

Відніміть 4x^{2} з обох сторін.

$$20000+x^{2}+200x-4x^{2}=400x+10000$$

Додайте x^{2} до -4x^{2}, щоб отримати -3x^{2}.

$$20000-3x^{2}+200x=400x+10000$$

Відніміть 400x з обох сторін.

$$20000-3x^{2}+200x-400x=10000$$

Додайте 200x до -400x, щоб отримати -200x.

$$20000-3x^{2}-200x=10000$$

Відніміть 10000 з обох сторін.

$$20000-3x^{2}-200x-10000=0$$

Відніміть 10000 від 20000, щоб отримати 10000.

$$10000-3x^{2}-200x=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$-3x^{2}-200x+10000=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте -3 замість a, -200 замість b і 10000 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-200\right)±\sqrt{\left(-200\right)^{2}-4\left(-3\right)\times 10000}}{2\left(-3\right)}$$

Піднесіть -200 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-200\right)±\sqrt{40000-4\left(-3\right)\times 10000}}{2\left(-3\right)}$$

Помножте -4 на -3.

$$x=\frac{-\left(-200\right)±\sqrt{40000+12\times 10000}}{2\left(-3\right)}$$

Помножте 12 на 10000.

$$x=\frac{-\left(-200\right)±\sqrt{40000+120000}}{2\left(-3\right)}$$

Додайте 40000 до 120000.

$$x=\frac{-\left(-200\right)±\sqrt{160000}}{2\left(-3\right)}$$

Видобудьте квадратний корінь із 160000.

$$x=\frac{-\left(-200\right)±400}{2\left(-3\right)}$$

Число, протилежне до -200, дорівнює 200.

$$x=\frac{200±400}{2\left(-3\right)}$$

Помножте 2 на -3.

$$x=\frac{200±400}{-6}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{200±400}{-6} за додатного значення ±. Додайте 200 до 400.

$$x=\frac{600}{-6}$$

Розділіть 600 на -6.

$$x=-100$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{200±400}{-6} за від’ємного значення ±. Відніміть 400 від 200.

$$x=-\frac{200}{-6}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 2, щоб звести дріб \frac{-200}{-6} до нескоротного вигляду.

$$x=\frac{100}{3}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=-100 x=\frac{100}{3}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Обчисліть 100 у степені 2 і отримайте 10000.

$$10000+\left(x+100\right)^{2}=\left(2x+100\right)^{2}$$

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(x+100\right)^{2}.

$$10000+x^{2}+200x+10000=\left(2x+100\right)^{2}$$

Додайте 10000 до 10000, щоб обчислити 20000.

$$20000+x^{2}+200x=\left(2x+100\right)^{2}$$

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(2x+100\right)^{2}.

$$20000+x^{2}+200x=4x^{2}+400x+10000$$

Відніміть 4x^{2} з обох сторін.

$$20000+x^{2}+200x-4x^{2}=400x+10000$$

Додайте x^{2} до -4x^{2}, щоб отримати -3x^{2}.

$$20000-3x^{2}+200x=400x+10000$$

Відніміть 400x з обох сторін.

$$20000-3x^{2}+200x-400x=10000$$

Додайте 200x до -400x, щоб отримати -200x.

$$20000-3x^{2}-200x=10000$$

Відніміть 20000 з обох сторін.

$$-3x^{2}-200x=10000-20000$$

Відніміть 20000 від 10000, щоб отримати -10000.

$$-3x^{2}-200x=-10000$$

Розділіть обидві сторони на -3.

$$\frac{-3x^{2}-200x}{-3}=-\frac{10000}{-3}$$

Ділення на -3 скасовує множення на -3.

$$x^{2}+\left(-\frac{200}{-3}\right)x=-\frac{10000}{-3}$$

Розділіть -200 на -3.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x=-\frac{10000}{-3}$$

Розділіть -10000 на -3.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x=\frac{10000}{3}$$

Поділіть \frac{200}{3} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати \frac{100}{3}. Потім додайте \frac{100}{3} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\left(\frac{100}{3}\right)^{2}=\frac{10000}{3}+\left(\frac{100}{3}\right)^{2}$$

Щоб піднести \frac{100}{3} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}=\frac{10000}{3}+\frac{10000}{9}$$

Щоб додати \frac{10000}{3} до \frac{10000}{9}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}=\frac{40000}{9}$$

Розкладіть x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{100}{3}\right)^{2}=\frac{40000}{9}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x+\frac{100}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{40000}{9}}$$

Виконайте спрощення.

$$x+\frac{100}{3}=\frac{200}{3} x+\frac{100}{3}=-\frac{200}{3}$$

Відніміть \frac{100}{3} від обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{100}{3} x=-100$$