Розв'яжіть (x^2-5x+3)=8

$$( { x }^{ 2 } -5x+3)=8$$

Знайдіть x

$$x = \frac{3 \sqrt{5} + 5}{2} \approx 5,854101966$$

$$x=\frac{5-3\sqrt{5}}{2}\approx -0,854101966$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$x^{2}-5x+3=8$$

Відніміть 8 від обох сторін цього рівняння.

$$x^{2}-5x+3-8=8-8$$

Якщо відняти 8 від самого себе, залишиться 0.

$$x^{2}-5x+3-8=0$$

Відніміть 8 від 3.

$$x^{2}-5x-5=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 1 замість a, -5 замість b і -5 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\left(-5\right)}}{2}$$

Піднесіть -5 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\left(-5\right)}}{2}$$

Помножте -4 на -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+20}}{2}$$

Додайте 25 до 20.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{45}}{2}$$

Видобудьте квадратний корінь із 45.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±3\sqrt{5}}{2}$$

Число, протилежне до -5, дорівнює 5.

$$x=\frac{5±3\sqrt{5}}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{5±3\sqrt{5}}{2} за додатного значення ±. Додайте 5 до 3\sqrt{5}.

$$x=\frac{3\sqrt{5}+5}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{5±3\sqrt{5}}{2} за від’ємного значення ±. Відніміть 3\sqrt{5} від 5.

$$x=\frac{5-3\sqrt{5}}{2}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{3\sqrt{5}+5}{2} x=\frac{5-3\sqrt{5}}{2}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-5x+3=8$$

Відніміть 3 від обох сторін цього рівняння.

$$x^{2}-5x+3-3=8-3$$

Якщо відняти 3 від самого себе, залишиться 0.

$$x^{2}-5x=8-3$$

Відніміть 3 від 8.

$$x^{2}-5x=5$$

Поділіть -5 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{5}{2}. Потім додайте -\frac{5}{2} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=5+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{5}{2} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=5+\frac{25}{4}$$

Додайте 5 до \frac{25}{4}.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{45}{4}$$

Розкладіть x^{2}-5x+\frac{25}{4} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{45}{4}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{45}{4}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{3\sqrt{5}}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{3\sqrt{5}}{2}$$

Додайте \frac{5}{2} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{3\sqrt{5}+5}{2} x=\frac{5-3\sqrt{5}}{2}$$