Розв'яжіть (sqrt{5}-sqrt{3})(sqrt{5}+sqrt{3})-(sqrt{6}+sqrt{2})^2

$$( \sqrt { 5 } - \sqrt { 3 } ) ( \sqrt { 5 } + \sqrt { 3 } ) - ( \sqrt { 6 } + \sqrt { 2 } ) ^ { 2 }$$

Обчислити

$$-4\sqrt{3}-6\approx -12,92820323$$

Покрокове розв’язання

Розглянемо \left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right). Множення можна виконати за правилом різниці квадратів: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\left(\sqrt{5}\right)^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}-\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)^{2}$$

Квадрат \sqrt{5} дорівнює 5.

$$5-\left(\sqrt{3}\right)^{2}-\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)^{2}$$

Квадрат \sqrt{3} дорівнює 3.

$$5-3-\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)^{2}$$

Відніміть 3 від 5, щоб отримати 2.

$$2-\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)^{2}$$

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)^{2}.

$$2-\left(\left(\sqrt{6}\right)^{2}+2\sqrt{6}\sqrt{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)$$

Квадрат \sqrt{6} дорівнює 6.

$$2-\left(6+2\sqrt{6}\sqrt{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)$$

Розкладіть 6=2\times 3 на множники. Перепишіть квадратний корінь продукту \sqrt{2\times 3} як добуток у квадратних коренів \sqrt{2}\sqrt{3}.

$$2-\left(6+2\sqrt{2}\sqrt{3}\sqrt{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)$$

Помножте \sqrt{2} на \sqrt{2}, щоб отримати 2.

$$2-\left(6+2\times 2\sqrt{3}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)$$

Помножте 2 на 2, щоб отримати 4.

$$2-\left(6+4\sqrt{3}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)$$

Квадрат \sqrt{2} дорівнює 2.

$$2-\left(6+4\sqrt{3}+2\right)$$

Додайте 6 до 2, щоб обчислити 8.

$$2-\left(8+4\sqrt{3}\right)$$

Щоб знайти протилежне виразу 8+4\sqrt{3}, знайдіть протилежне значення для кожного члена.

$$2-8-4\sqrt{3}$$

Відніміть 8 від 2, щоб отримати -6.

$$-6-4\sqrt{3}$$