Розв'яжіть (sqrt{2}+sqrt{5})^2-(2+sqrt{10})^2+sqrt{90}+(2sqrt{2}-1)(2sqrt{2}+1)

$$( \sqrt { 2 } + \sqrt { 5 } ) ^ { 2 } - ( 2 + \sqrt { 10 } ) ^ { 2 } + \sqrt { 90 } + ( 2 \sqrt { 2 } - 1 ) ( 2 \sqrt { 2 } + 1 )$$

Обчислити

$$\sqrt{10}\approx 3,16227766$$

Покрокове розв’язання

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{2}\right)^{2}+2\sqrt{2}\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}-\left(2+\sqrt{10}\right)^{2}+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

Квадрат \sqrt{2} дорівнює 2.

$$2+2\sqrt{2}\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}-\left(2+\sqrt{10}\right)^{2}+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

Щоб помножити \sqrt{2} і \sqrt{5}, помножте числа під квадратний корінь.

$$2+2\sqrt{10}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}-\left(2+\sqrt{10}\right)^{2}+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

Квадрат \sqrt{5} дорівнює 5.

$$2+2\sqrt{10}+5-\left(2+\sqrt{10}\right)^{2}+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

Додайте 2 до 5, щоб обчислити 7.

$$7+2\sqrt{10}-\left(2+\sqrt{10}\right)^{2}+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(2+\sqrt{10}\right)^{2}.

$$7+2\sqrt{10}-\left(4+4\sqrt{10}+\left(\sqrt{10}\right)^{2}\right)+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

Квадрат \sqrt{10} дорівнює 10.

$$7+2\sqrt{10}-\left(4+4\sqrt{10}+10\right)+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

Додайте 4 до 10, щоб обчислити 14.

$$7+2\sqrt{10}-\left(14+4\sqrt{10}\right)+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

Щоб знайти протилежне виразу 14+4\sqrt{10}, знайдіть протилежне значення для кожного члена.

$$7+2\sqrt{10}-14-4\sqrt{10}+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

Відніміть 14 від 7, щоб отримати -7.

$$-7+2\sqrt{10}-4\sqrt{10}+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

Додайте 2\sqrt{10} до -4\sqrt{10}, щоб отримати -2\sqrt{10}.

$$-7-2\sqrt{10}+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

Розкладіть 90=3^{2}\times 10 на множники. Перепишіть квадратний корінь із добутку \sqrt{3^{2}\times 10} як добуток квадратних коренів \sqrt{3^{2}}\sqrt{10}. Видобудьте квадратний корінь із 3^{2}.

$$-7-2\sqrt{10}+3\sqrt{10}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

Додайте -2\sqrt{10} до 3\sqrt{10}, щоб отримати \sqrt{10}.

$$-7+\sqrt{10}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

Розглянемо \left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right). Множення можна виконати за правилом різниці квадратів: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Піднесіть 1 до квадрата.

$$-7+\sqrt{10}+\left(2\sqrt{2}\right)^{2}-1$$

Розкладіть \left(2\sqrt{2}\right)^{2}

$$-7+\sqrt{10}+2^{2}\left(\sqrt{2}\right)^{2}-1$$

Обчисліть 2 у степені 2 і отримайте 4.

$$-7+\sqrt{10}+4\left(\sqrt{2}\right)^{2}-1$$

Квадрат \sqrt{2} дорівнює 2.

$$-7+\sqrt{10}+4\times 2-1$$

Помножте 4 на 2, щоб отримати 8.

$$-7+\sqrt{10}+8-1$$

Відніміть 1 від 8, щоб отримати 7.

$$-7+\sqrt{10}+7$$

Додайте -7 до 7, щоб обчислити 0.

$$\sqrt{10}$$